1.
(1). 設 $x\geq 0$, $n$ 為自然數, 證明: $$\bex x^n\geq n(x-1)+1; \eex$$
(2). $\forall\ n$, 求證: $$\bex \int_0^}}x^n\rd x>2; \eex$$
(3). 設正數列 $\sed$ 滿足 $$\bex \vlm\int_0^x^n\rd x=2. \eex$$ 求證: $\dpsa_n=1}$.
2. 設 $f\in c[0,1]$, $\dps$, 且 $\dps$, 求證: $\exists\ \xi\in [0,1]$ 使 $|f(\xi)|\geq 2^n(n+1)$.
3. 設 $f,g\in c[a,b]$, 並且 $f(x)$ 單調下降, $0\leq g(x)\leq 1$, 記 $\dps$. 求證: $$\bex \int_^b f(t)\rd t\leq \int_a^b f(t)g(t)\rd t. \eex$$
4. 設 $f'\in c[0,1]$, 且滿足 $0\leq f'(x)\leq 1, f(0)=0$, 求證: $$\bex \int_0^1 f^3(x)\rd x\leq \***^2. \eex$$
5. 設 $f(x)$ 在實軸上有界且可微, 並滿足 $$\bex |f(x)+f'(x)|\leq 1,\quad x\in (-\infty,+\infty). \eex$$ 求證: $|f(x)|\leq 1$.
6. 設 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可微, 且 $0\leq f'(x)\leq f(x)$, $f(0)=0$. 求證: $f(x)\equiv 0$.
7. 設 $f\in c^2[0,1]$, $\dps},\ \eta\in \***,1}}$.
(1). 求證: $\dps$;
(2). 求證: $\dps$.
8. 設 $f\in c[1,\infty)$, $f(x)>0$, 並且 $$\bex f(x)=\int_1^x f(t)\rd t\leq [f(x)]^2,\quad \forall\ x\geq 1. \eex$$
(1). 求證: $f'(x)\geq \sqrt$;
(2). 求證: $\dps(x-1)}$;
(3). 若 $\dps$, 求證: $\dps(x-1)}}$.
9. 設 $f\in c^2[a,b]$, $f(a)=f(b)=0$. 求證:
(1). $\forall\ x\in [a,b]$, 有 $$\bex \sev}\leq \int_a^b |f''(x)|\rd x; \eex$$
(2). $\dps|f(x)|\cdot \frac\leq \int_a^b |f''(x)|\rd x}$.
10.(1). 設 $f(x)$ 單調上公升, $f(0)>0$. 求證: $$\bex 1\leq \int_0^1 f(x)\rd x\cdot \int_0^1 \frac\rd x\leq \frac; \eex$$
(2). 設 $a_i\geq 0$, $i=1,2,3$, $a_1+a_2+a_3=1$, $0<\lm_1<\lm_2<\lm_3$. 求證: $$\bex 1\leq \***^3 a_i\lm_i}\cdot \***^3 \frac}\leq \frac. \eex$$
11.(1). 設 $f(x)$ 在 $(0,\infty)$ 上連續且單調遞減. 求證: $$\bex \int_1^f(x)\rd x\leq \sum_^n f(k)\leq f(1)+\int_1^n f(x)\rd x; \eex$$
(2). 設 $\dps^n\frac}}$. 求 $$\bex \vlm\frac-s_n}}; \eex$$
(3). 設 $\dps} +\frac}+\cdots+\frac}-\ln\frac}}$. 求證: 序列 $a_n$ 存在極限, 並證明此極限在 $0$ 與 $\dps}$ 之間.
12. 設 $a_1\geq a_2\geq \cdots\geq a_n\geq 0$.
(1). 若 $f(0)=0$, $f'(0)\geq 0$, $f''(x)\geq 0$\ ($0\leq x<\infty)$. 求證: $$\bex \sum_^n (-1)^f(a_k)\geq f\***^n (-1)^a_k}; \eex$$
(2). 求證: 當 $p>1$ 時, $$\bex \sum_^n (-1)^ a_k^p\geq \***^n (-1)^ a_k}^p. \eex$$
13. 設 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上增加. 求證: $\forall\ c\in (a,b)$, 有 $$\bex f(x)=\int_c^x g(t)\rd t \eex$$ 是凸函式.
14. 設 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是凸的. 求證: $\forall\ c,x\in [a,b]$, 有 $$\bex f(x)-f(c)=\int_c^x f'_-(t)\rd t=\int_c^x f'_+(t)\rd t. \eex$$
15. 求證: $$\bex \int_0^}\sin x^2\rd x>0. \eex$$
16. 請按下列提示的思路證明: 若 $f\in c[a,b]$, 單調增加, 則 $$\bex \int_a^b xf(x)\rd x\leq \frac\int_a^b f(x)\rd x. \eex$$
思路一: 對積分 $\dps}f(x)\rd x}$ 分段使用第一中值定理.
思路二: 對積分 $\dps}f(x)\rd x}$ 使用第二中值定理.
思路三: 從 $\dps}\***}}\rd x\geq 0}$ 出發.
思路四: 從 $$\bex (t-x)(f(t)-f(x))\geq 0,\quad \forall\ t,x\in [a,b] \eex$$ 出發, 先固定住 $x$ 對 $t$ 積分, 將所得結果再對 $x$ 積分.
17. 設 $b>a>0$. 求證: $\dps>\frac}$.
所有習題選自北京大學數學系的數學分析習題集. 參考解答見第411期.
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