1 euler 公式 $e^+1=0$
(1) 它把
b. $i$: 虛數單位 $=\sqrt$ (復變)
d. $1$: 自然數的單位 (道生一,一生二,二生三,三生萬物---老子關於萬物的起源)
e. $0$: 人類最偉大的發現之一 (可以考慮平衡, 欠費等問題了) 這些數學中最重要的一些常數聯絡了起來.
(2) 它把現代數學的三大分支
a. 分析 (analysis) $(e,i)$
b. 代數 (algebra) $(1,0)$
c. 幾何 (geometry) $(\pi)$ 聯絡了起來.
(1) $e$ 是最``自然''的對數的底. why? $$\bex (\ln x)'=\frac,\quad (e^x)'=e^x. \eex$$
(3) $e$ 是無理數, 也是超越數 (1873 年, hermite). 開放性問題 (open problem):: $e+\pi$ 是無理數麼? 定義:: 乙個數稱為代數數, 如果它是某個整係數多項式的根. 不是代數數的數稱為超越數.
3. $i$: 虛數單位
(1) 義大利數學家 cardano 在解三次方程的時候引入的. 不過那時候還不知道 $\sqrt$ 的含義是什麼, 純粹是一種形式記號.
(2) $\sqrt$ 的幾何意義 (畫圖: $\sqrt\cdot\sqrt=-1$---乘以 $-1$ 相當於旋轉 $180^\circ$, 而乘以 $\sqrt$ 相當於旋轉 $90^\circ$, 我們從``一維直線''到了``二維平面'').
(3) 把 $i=\sqrt$ 引入後, 我們進入了二維世界. 可以作加法和乘法, 且都有逆運算---減法和除法. 如此構成乙個 ``域 (field)''. 註記:: 到此, 絕大部分數學家就夠用了. 當然有些代數學家可能還不滿足.
(4) 二維很重要! 殊不知數學分析用了一冊講一元, 一冊講多元. 而復變函式整一本講二元! 說到 ``2'', 我們看看它的重要性 (不記得參考文獻了, 以前看過一點):
a. $2$: 最小的素數, 唯一的偶素數.
b. $\dps}$, 萬有引力.
c. 流體力學方程組 $$\bex \left\ \p_t\bbu+(\bbu\cdot\n)\bbu-\lap\bbu+\n p=0,\quad(\mbox)\\ \n\cdot\bbu=0,\quad(\mbox) \ea\right. \eex$$ 在 $2$ 維的時候解是整體存在的. 這裡, $\bbu=(u_1,u_2)$ 是流體的速度, $p$ 是壓力, $\bbu\cdot\n$ 是 $\bbu$ 與 $\n$ 的``內積''. 在 $3$ 維的時候是 ``千禧年大獎難題''.
d. $e=mc^2$.
4. $\pi$: 圓周率---單位圓的半周長.
(1) 遠古時代: 古希臘 archimedes 和古中國劉徽有 archimedes- 劉徽演算法---近似計算 $\pi$. 具體如下: 先算出單位圓的外切和內接正 $6$ 邊形的半周長, 為 $a_1=2\sqrt$, $b_1=3$. 然後不斷平分, 可以得到外切和內接正 $2^n\cdot 3$ 邊形的半周長, 分別為 $$\bex a_=\frac,\quad b_=\sqrtb_n}. \eex$$ 練習:: 利用單調有界定理證明 $\sed$、$\sed$ 收斂; 利用上述幾何意義證明 $\dpsa_n=\lim_b_n=\pi}$. 註記:: 這個演算法是一階的 (數值分析), $$\bex |a_-\pi|\leq c|a_n-\pi|. \eex$$
(2) newton 利用他自己分明的二項式定理和微積分用``分析''的方法給出了 $\pi$ 的更好的估計: $$\bex \int_0^\frac\sqrt\rd x +\frac\cdot \frac\cdot \frac} =\frac. \eex$$
(3) 1976 年, salami 和 brent 給出了如下演算法: $$\bex a_0=1,\quad b_0=s_0=\frac}; \eex$$ $$\bex a_n=\frac+b_},\quad b_n=\sqrtb_}; \eex$$ $$\bex s_n=s_-2^n(a_n^2-b_n^2); \eex$$ $$\bex p_n=\frac. \eex$$ 可以證明 $\sed$ 二階收斂於 $\pi$\footnote, 即 $$\bex |p_-\pi|\leq c|p_n-\pi|^2. \eex$$
(4) 現在已經有了任意高階的演算法.
5. 證明 euler 公式: 由 $$\beex \bea e^=\sum_^\infty\frac &=1+i\frac -\frac -i\frac +\cdots\\ \cos \theta=\sum_^\infty (-1)^n\frac} &=1\quad\quad\ \,-\frac+\cdots\\ \sin \theta =\sum_^\infty (-1)^n \frac} &=\quad\quad\frac\quad\quad\ \ \, -\frac+\cdots\\ \eea \eeex$$ 即知 $$\bex e^=\cos \theta+i\sin \theta. \eex$$ 令 $\theta=\pi$ 即有 $e^=-1\ra e^+1=0$.
6. 推薦讀物 天才導引的歷程---數學中的偉大定理 (the journey through genius---the great theorems in mathematics).
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