先看乙個解析拓展的例子。
f(z)=1/(1-z)
將其在z=0作級數展開，得到f(z)=1+z+z2+...，收斂域|z|<1。
將其在z=-1作級數展開，得到f(z)=1/2[1+(z+1)/2+(z+1)2/2+...]，收斂域|z+1|<2。
這樣，z=-1處的展開式將z=0處的展開式從|z|<1「拓展」到了|z+1|<2。
為了得到乙個函式對某區域的解析拓展，乙個辦法是將該函式對區域的一段邊界作對映，方法如下：
1. 將（定義域）區域外的點對邊界作反射，反射後的點在區域裡了（角度反向）；
2. 反射後的點現在可代入原函式；
3. 將上述step 2的函式值對值域邊界作反射（角度再次反向，於是成為共形對映）。
我們從對實軸反射開始，一步步過渡到對任意邊界。
第一步：
上式中，等式左邊是新構造出的解析函式，其定義域p*是原解析函式定義域p對實軸的反射。我們首先對p*中的數z取共軛得到z*，z*必在p中。於是f(z*)必在q中。因此對f(z*)再取共軛得到的f*(z)必在q*中。
當然，上述文字中的p與p*即使有交集，我們也不能就說f*(z)是f(z)的解析拓展；因為在p和p*相交的區域內，f(z)和f*(z)未必相等。但是在特定情況下，f*(z)確實可以成為f(z)的解析拓展。讓我們繼續。
第二步：
上述情況中的實軸可以推廣為一般直線——
第三步：
如果f不是將直線對映為直線，而是將圓周對映為實軸會怎樣？
第四步：
上式中，待對映的函式f+(z)定義在圓周外；於是1/z在圓周內。假定f(1/z)將1/z對映到上半平面，那麼f(1/z)的共軛[f(1/z)]*就在下半平面。這樣，z和1/z關於圓周對稱，而f(z)和f+(z)關於實軸對稱。
第五步：
「z越過k的反射」是指z關於k的對稱點。
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