什麼是四元數
複數是由實數加上虛數單位i 組成，當中
i² = -1
相似地，四元數都是由實數加上三個元素 i、j、k 組成，並且它們有例如以下的關係：
i² = j² = k² = ijk = -1
每乙個四元數都是 1、i、j 和 k 的線性組合，即是四元數一般可表示為a + bi + cj + dk。
關於四元數的歷史
四元數是由哈密頓在2023年愛爾蘭發現的。當時他正研究擴充套件複數到更高的維次（複數可視為平面上的點）。他不能做到三維空間的樣例，但四維則造出四元數。依據哈密頓記述，他於10月16日跟他的妻子在都柏林的皇家運河（royal canal）上散步時突然想到
i² = j² = k² = ijk = -1
的方程解。之後哈密頓立馬將此方程刻在附近布魯穆橋（brougham bridge，現稱為金雀花橋 broom bridge）。
不僅僅如此，哈密頓還創造了向量的內外積（大神就是大神，創造力旺盛啊-_-!）。他亦把四元數描繪成乙個有序的四重實數：乙個標量（a）和向量（bi + cj + dk）的組合。若兩個標量部為零的四元數相乘，所得的標量部便是原來的兩個向量部的標量積的負值，而向量部則為向量積的值，但它們的重要性仍有待發掘。
四元數的記法
乙個四元數包括乙個標量分量和乙個3d向量分量。常常記標量分量為w，記向量分量為單一的v或分開的x，y，z。兩種記法分別例如以下：
[w,v]
[w,(x,y,z)]
四元數的性質
(當年計算機圖形學考的就是這題。。嗚嗚嗚~~)
四元數不像實數或複數那樣，它的乘法是不可交換的，比如
i j = k, ， j i = -k ;
j k = i ， k j = -i ;
k i = j ， i k = -j .
四元數是除法環的乙個樣例。除了沒有乘法的交換律外，除法環與域是相類的。特別地，乘法的結合律仍舊存在、非零元素仍有唯一的逆元素。
負四元數
四元數能求負。做法非常直接：將每乙個分量都變負。
-q = - [ w ( x y z ) ] = [ -w ( -x -y -z ) ]
= - [ w v ] = [ -w -v ]
ps：q 和 - q代表的實際角位移是同樣的，因此，3d中的隨意角位移都有兩中不同的四元數表示方法，它們互相為負。(由於繞某個軸旋轉360°物體相當於沒有旋轉)
單位四元數
幾何上，存在兩個單位四元數，它們代表沒有角位移：[ 1, 0 ] 和 [ -1, 0 ]
數學上，實際僅僅有乙個單位四元數[ 1 , 0 ] 用隨意四元數q乘以單位四元數，結果仍是q。數學上覺得[ -1 , 0]不是正在的單位四元數。
四元數的模、共軛和逆
四元數的模的記法和求法公式：
四元數的共軛記作 q*，可通過讓四元數的向量部分變負來獲得。
四元數的逆記作，定義為四元數的共軛除以它的模
。四元數的乘法
(叉乘)
四元數叉乘滿足結合律，但不滿足交換律。
(ab)c=a(bc)
ab≠ba
四元數乘積的模等於模的積
||pq|| = ||p|| ||q||
四元數的「差」
四元數的「差」被定義為乙個方位到還有乙個方位的角位移。換句話說，給定方位a和b，就能計算a旋轉到b的角位移d。
四元數點乘
對於單位四元數a和b，有-1 ≤ a·b ≤ 1。通常我們僅僅關心a·b的絕對值，由於a·b=-(a·-b)，所以b和-b代表同樣的角位移。
四元數點乘的幾何解釋類似於向量點乘的幾何解釋。四元數點乘a·b的絕對值越大，a和b代表的角位移越相似。
四元數的對數、指數和標量乘運算
四元數求冪
對四元數求冪在3d程式設計中很實用，由於它能夠從角位移中抽取一部分，比如四元數q代表乙個角位移，如今想得到代表1/3這個角位移的四元數，能夠計算q^1/3
四元數數冪的求法
在實際3d轉換中我們使用這個的**進行抽取角位移的部分
// 四元數（輸入、輸出）
float w,x,y,z;
// 指數（輸入）
float zhishu;
// 為了避免除零，我們這裡做乙個推斷，由於第乙個變數時cos，所以這裡是.9999f
if (fabs(w) < .9999f)
四元數插值
當今3d數學中四元數存在的理由是由於一種叫做slerp的運算，它是球面線性插值的縮寫(spherical linear interpolation)。slerp運算很實用，由於它能夠在兩個四元數間平滑插值。slerp運算避免了尤拉角插值的全部問題。
slerp是一種三元運算，這意味著它有三個運算元。前兩個運算元是兩個四元數，將在它們中間插值。設這兩個開始和結束的四元數分別為q0和q1.差值引數設為變數 t，t 在0到1之間變化。slerp函式：slerp(q0,q1,t) 將返回q0和q1之間的插值方位。
// 兩個輸入四元數
float w0,x0,y0,z0;
float w1,x1,y1,z1;
// 差值變數
float t;
// 輸出四元數
float w,x,y,z;
// 用點乘計算兩個四元數夾角的cos值
float cosjiao = w0*w1 + x0*x1 + y0*y1 + z0*z1;
// 假設點乘為負，則反轉乙個四元數以取得短的4d弧
if (cosjiao < 0.0f)
// 檢查防止除零
float k0, k1;
if (cosjiao > 0.9999f) else
// 插入值
w = w0*k0 + w1*k1;
x = x0*k0 + x1*k1;
y = y0*k0 + y1*k1;
z = z0*k0 + z1*k1;
（2） 維基百科
（3） 《計算機圖形學》
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