——題記
公式:
v ′ = (v · n) n+(v - (v · n) n)cos(θ)+sin(θ)(u x v)
表示三維空間旋轉的方法有很多，這裡關注軸角式，並採用右手座標系;
如圖:有旋轉軸 u = (x、y、z)，我們希望向量v，沿著這個旋轉軸旋轉θ度，變換到v ′。
我們來變換一下v ′；
1. 旋轉的分解
首先，我們可以將v分解為平行於旋轉軸u以及正交與u的兩個分量，v∥和v⊥，既:
v = v∥ + v⊥
我們可以分別旋轉這兩個分向量，再將它們旋轉的結果相加獲得旋轉後的向量v ′：
v ′ = v ′ ∥ + v ′ ⊥
v的分解圖
v∥其實就是v在u上的投影，經過觀察得出:
因為 v = v∥ + v⊥，我們可以得到：
既然我們已經知道怎麼分解 v，接下來我們只需要分別討論對 v∥ 和 v⊥ 的旋轉就可 以了
2. v∥ 的旋轉
v∥ 其實根本沒有被旋轉，因為與旋轉軸u重合，所以:
v ′ ∥ = v∥
3. v⊥ 的旋轉
接下來，我們需要處理正交與u的 v⊥,因為這兩個向量是正交的，這個旋轉可以看做是平面內的乙個旋轉。如下圖，右側的為俯檢視：
現在，3d 的旋轉就被我們轉化為了 2d 平面上的旋轉．由於在這個平面上我們只 14 有乙個向量 v⊥，用它來表示乙個旋轉是不夠的，我們還需要構造乙個同時正交於 u 和 v⊥ 的向量 w，這個可以通過叉乘來獲得：
w = u × v⊥
有了這個新的向量w就相當於我們在平面內有了兩個座標軸，我們現在把v ′ ⊥ 投影到 w 和 v⊥ 上，將其分解為 v ′ v 和 v ′ w．
得到:
現在我們完成了旋轉的第二部。
4. v 的旋轉
將上面的兩個結果組合就可以獲得：
因為叉乘遵守分配律
最後，將 v∥ = (u · v)u 與 v⊥ = v − (u · v)u 代入：
現在整個公式推導我們就已經完成了。
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