Delaunay三角化演算法

1、首先了解一下什麼是delaunay三角網

delaunay三角剖分是前蘇聯數學家 delaunay在 2023年提出的:對於任意給定的平面點集 ,只存在著唯一的一種三角剖分方法 ,滿足所謂的「最大 — 最小角」優化準則 ,即所有最小內角之和最大 ,這就是 delaunay三角剖分。這種剖分方法遵循「最小角最大」和「空外接圓」準則

「最小角最大」準則是在不出現奇異性的情況下,delaunay三角剖分最小角之和均大於任何非 delaunay剖分所形成三角形最小角之和 ,三角形的最小內角之和最大 ,從而使得劃分的三角形不會出現某個內角過小的情況 ,比較有利於有限元的後續計算。

「空外接圓」準則是 delaunay三角剖分中任意三角形的外接圓內不包括其他結點。因此 ,在各種二維三角剖分中 ,只有 delaunay三角剖分才同時滿足全域性和區域性最優。

2、delaunay區域增長演算法

選擇第乙個頂點，第乙個頂點作為p1；

選擇第二個頂點，距離p1最近的頂點，記為p2；

選擇第三個頂點，和p1 p2構成的三角形的外接圓沒有其他頂點，並且該三角形中點p3所在的三角形內角最大

生成三個邊，加入邊表；

生成第乙個三角形，組建三角形表；

從邊表頭選擇乙個邊，標誌位為假（表示目前僅僅存在於乙個三角形中）；

從點鍊錶中搜尋乙個符合下述條件的點：

在邊所在三角形中第三個點的對側；

該點和該邊構成的三角形的外接圓中沒有其他點；

滿足上述條件的點在新三角形中的內角最大的點作為p3；

如果邊表中沒有新生的邊，將其加入邊表尾，並設定標誌位維false；如果已經存在，則設定其標誌位為true；

將生成的三角形加入三角形表；

將從邊表頭選擇的那條邊標誌位設為true；

轉至該過程的第一步，直至所有的邊的標誌位均為true；

注：如果需要進行限制三角剖分，則可利用重心法取出不要的三角形，必要時，可對邊界進行限制，不讓生成的邊與邊界相交

2、delaunay三角化的實現演算法

一般都會用到的區域性最優化（lop)處理：

將兩個具有公共邊的三角形合併成乙個凸多邊形

以最大空外接圓為準則，觀察第四個頂點是否在三角形的外接圓之內

如果在，修正對角線，對調對角線，優化結束

delaunay三角形只是一種三角化的標準，實現方法有多種：，這裡筆者只介紹兩種逐點插入的兩種實現演算法