KMP演算法詳解

**matrix67神牛

最後的j:=p[j]是為了讓程式繼續做下去，因為我們有可能找到多處匹配。

這個程式或許比想像中的要簡單，因為對於i值的不斷增加，**用的是for迴圈。因此，這個**可以這樣形象地理解：掃瞄字串a，並更新可以匹配到b的什麼位置。

現在，我們還遺留了兩個重要的問題：一，為什麼這個程式是線性的；二，如何快速預處理p陣列。

為什麼這個程式是o(n)的？其實，主要的爭議在於，while迴圈使得執行次數出現了不確定因素。我們將用到時間複雜度的攤還分析中的主要策略，簡單地說就是通過觀察某乙個變數或函式值的變化來對零散的、雜亂的、不規則的執行次數進行累計。kmp的時間複雜度分析可謂攤還分析的典型。我們從上述程式的j 值入手。每一次執行while迴圈都會使j減小（但不能減成負的），而另外的改變j值的地方只有第五行。每次執行了這一行，j都只能加1；因此，整個過程中j最多加了n個1。於是，j最多只有n次減小的機會（j值減小的次數當然不能超過n，因為j永遠是非負整數）。這告訴我們，while迴圈總共最多執行了n次。按照攤還分析的說法，平攤到每次for迴圈中後，一次for迴圈的複雜度為o(1)。整個過程顯然是o(n)的。這樣的分析對於後面p陣列預處理的過程同樣有效，同樣可以得到預處理過程的複雜度為o(m)。

預處理不需要按照p的定義寫成o(m^2)甚至o(m^3)的。我們可以通過p[1],p[2],...,p[j-1]的值來獲得p[j]的值。對於剛才的b="ababacb"，假如我們已經求出了p[1],p[2],p[3]和p[4]，看看我們應該怎麼求出p[5]和p[6]。p[4]=2，那麼p [5]顯然等於p[4]+1，因為由p[4]可以知道，b[1,2]已經和b[3,4]相等了，現在又有b[3]=b[5]，所以p[5]可以由p[4] 後面加乙個字元得到。p[6]也等於p[5]+1嗎？顯然不是，因為b[ p[5]+1 ]<>b[6]。那麼，我們要考慮「退一步」了。我們考慮p[6]是否有可能由p[5]的情況所包含的子串得到，即是否p[6]=p[ p[5] ]+1。這裡想不通的話可以仔細看一下：

1 2 3 4 5 6 7

b = a b a b a c b

p = 0 0 1 2 3 ?

p[5]=3是因為b[1..3]和b[3..5]都是"aba"；而p[3]=1則告訴我們，b[1]、b[3]和b[5]都是"a"。既然p[6]不能由p[5]得到，或許可以由p[3]得到（如果b[2]恰好和b[6]相等的話，p[6]就等於p[3]+1了）。顯然，p[6]也不能通過p[3]得到，因為b[2]<>b[6]。事實上，這樣一直推到p[1]也不行，最後，我們得到，p[6]=0。

怎麼這個預處理過程跟前面的kmp主程式這麼像呢？其實，kmp的預處理本身就是乙個b串「自我匹配」的過程。它的**和上面的**神似：

p[1]:=0;


j:=0;
for i:=2 to m do
begin
while (j>0) and (b[j+1]<>b[i]) do j:=p[j];
if b[j+1]=b[i] then j:=j+1;
p[i]:=j;

end;

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