本文重在理清ecc演算法的來龍去脈，關於無窮遠點、攝影平面座標系、fp有限域、阿貝爾群等概念，要重點學習近世代數；關於**實現部分，本文暫未說明。
一、射影平面的引入
近世代數中的幾個小概念：
1關於無窮遠點，可以理解為平面上兩條平行線的交點；
2一組平行直線只有乙個無窮遠點；
3相交的兩條平行直線有不同的無窮遠點（易反正）；
4平面上全體無窮遠點構成一條無窮遠直線；
5全體平常點和全體無窮遠點構成射影平面。
射影平面座標系是對笛卡爾平面直角座標系的擴充套件，能表示無窮遠點，同時向下相容笛
卡爾平面直角座標系中的平常點。
對於笛卡爾直角座標系中的平常點a(x,y)，令x=x/z,y=y/z，z!=0，則點a在射影平面座標系中表示為a(x,y,z)，z!=0。
直線在笛卡爾平面直角座標系中的方程為ax+by+c=0，帶入x=x/z,y=y/z，得出射影平面座標系中表示為ax+by+cz=0。
然後由兩直線ax+by+c1z=0，ax+by+c2z=0，c1!=c2，易得出z=0，即ax+by=0，所以無窮遠點在射影平面中用(x,y,0)來表示。
綜上，射影平面座標系中包括兩類點，一類是平常點(x,y,z),z!=0，另一類是無窮遠點(x,y,0)。
二、橢圓曲線的定義
射影平面座標系上滿足威爾斯特拉斯方程（weierstrass）所有點的集合
y2z+a1xyz+a3yz2=x3+a2x2z+a4xz2+a6z3y2z+a1xyz+a3yz2=x3+a2x2z+a4xz2+a6z3，組成一條橢圓曲線。
並滿足：
1橢圓曲線方程是乙個齊次方程，所有項的次數都是三。
2曲線上的每個點都必須是非奇異的（光滑的），偏導數fx(x,y,z)、fy(x,y,z)、fz(x,y,z)不同為0，即曲線上所有點都可微。
橢圓曲線的形狀，並不是橢圓形。該方程與橢圓方程的相差甚遠，因為橢圓方程是二次的。該曲線之所以命名為橢圓曲線，是因為上述方程類似於計算橢圓周長的方程。
將x=x/y,y=y/z帶入後，得到橢圓曲線方程的所有平常點在笛卡爾座標系中的表示：
y2+a1xy+a3y=x3+a2x^2+a4x+a6
平常點(x,y)的斜率k=-fx(x,y)/fy(x,y)=(3x^2+2a2x+a4-a1y)/(2y+a1x+a3);
三、應用於加密
並不是所有的橢圓曲線都光滑和連續，例如y2z=x3+x2和y2z=x^3，在點(0,0,1)上不可微，沒有切線。
並不是所有光滑的橢圓曲線都適合加密，y2=x3+ax+b是一種簡單常用的適合用來加密的橢圓曲線。
另外，我們所說的橢圓曲線上的點包括兩部分，一部分(x,y)滿足y2=x3+ax+b，只是笛卡爾平面直角座標系中的平常點，還要再加乙個無窮遠點，才是一條完整的橢圓曲線。
再者，上面所說的(x,y)是定義在r上的，若要用來加密，還需把橢圓曲線離散化，即定義在有限域fp上面，還要建立起(x,y)之間關係，這個關係是加法運算。
四、有限域fp
橢圓曲線是連續的，並不適合用於加密；所以，我們必須把橢圓曲線變成離散的點，我
們要把橢圓曲線定義在有限域上。
下面，我們給出乙個有限域fp，這個域只有有限個元素。
fp中只有p（p為素數）個元素0,1,2 …… p-2,p-1；
fp 的加法（a+b）法則是 a+b≡c (mod p)；
fp 的乘法(a×b)法則是 a×b≡c (mod p)；
fp 的除法(a÷b)法則是 a/b≡c (mod p)；即 a×b-1≡c (mod p)；b-1也是乙個0到p-1之間的整數，但滿足b×b-1≡1 (mod p)
fp 的單位元是1，零元是 0。
對於橢圓曲線ep(a,b)，p為質數，x,y∈[0,p-1]。選擇兩個小於p的非負整數a、b，滿足4a3+27b2≠0(mod p)
符合方程y2=x3+ax+b(mod p)，滿足上述方程的所有點(x,y)，再加上無窮遠點，構成一條橢圓曲線。
以y2=x3+x+1為例，記為e23(1,1)，該橢圓曲線上的離散點為
四、橢圓曲線上點(x,y)的加法運算
我們最熟悉的加法是實數軸上的加法，3+4=7，1.2+68=69.2，2pi+3pi=5pi。
若要實現橢圓曲線上的加法，需要引入近世代數中的阿貝爾群。
阿貝爾群是一種代數結構，由乙個集合和二元運算組成，需要滿足封閉性、結合性、有單位元和逆元。
運算法則：任意取橢圓曲線上兩點p、q （若p、q兩點重合，則做p點的切線）做直線交於橢圓曲線的另一點r』，過r』做y軸的平行線交於r。我們規定p+q=r。
在加密中，加法運算主要使用p+p+…+p(m個相加)=2p+p+…+p=(m-1)p+p=mp。即m個相
同的點p相加。
以p+p+p=2p+p=3p為例，
計算過程不斷的重複做切線或連線兩點，然後再沿著y軸做平行線，取交點的過程。先
有p，做p的切線，然後有2p』，再有2p，再連線2p和p，有3p』，然後再有3p。
五、應用於加密後的橢圓曲線
1橢圓曲線ep(a,b)上的點的數目，稱為橢圓曲線ep(a,b)的階。
2對於橢圓曲線上一點p，如果存在最小的正整數n，使得數乘np=o∞，則將n稱為p的階，若n不存在，我們說p是無限階的。事實上，在有限域上定義的橢圓曲線上所有的點的階n都是存在的，具體證明詳見近世代數相關理論。
3對於kg=k，點g是ep(a,b)上的點，由加法定義，求點k相對容易，並且k也在ep(a,b)上。但是由k和g，去反推k非常困難，被稱為橢圓曲線上離散對數難題。
4描述乙個利用橢圓曲線進行加密通訊的過程：
(1)使用者a選定一條橢圓曲線ep(a,b)，並取橢圓曲線上一點，作為基點g。
(2)使用者a選擇乙個私有金鑰k，並生成公開金鑰k=kg。
(3)使用者a將ep(a,b)和點k，g傳給使用者b。
(4)使用者b接到資訊後 ，將待傳輸的明文編碼到ep(a,b)上一點m（編碼方法很多，這裡不作討論），並產生乙個隨機整數r。
(5)使用者b計算點c1=m+rk；c2=rg。
(6)使用者b將c1、c2傳給使用者a。
(7)使用者a接到資訊後，計算c1-kc2，結果就是點m。
因為c1-kc2=m+rk-k(rg)=m+rk-r(kg)=m，再對點m進行解碼就可以得到明文。
在這個加密通訊中，使用者a的加密用的橢圓曲線、公鑰和基點，即ep(a,b)、k、g，使用者b的兩個返回值c1、c2，會在網路中傳輸，有可能被盜取，但是通過k、g 求k和通過c2、g求r，都是相對困難的。沒有k或r，就無法推算出m，沒有m，就無法解碼推出明文。
六、ecc公鑰演算法的破解難點分析
公開金鑰演算法總是要基於乙個數學上的難題，對於等式：
k=kg（其中 k,g為ep(a,b)上的點，k為小於n（n是點g的階）的整數）
不難發現，給定k和g，根據加法法則，計算k很容易；但給定k和g，求k就相對困難了。而且，p越大越困難，但p越大，計算速度會變慢，200位左右可以滿足一般安全要求，
比如居民二代身份證的加密演算法採用256位的ecc。
對於更嚴格的加密場合，把p取得相當大，n也相當大，要把n個解點逐一算出來，採用打表法來破解k，先認同這個思路姑且可行。但g這個基點是使用者隨意選取的，ep(a,b)上每個點都可能成為基點，破解者需要建立數不清的新錶，橢圓曲線上的g+g+…+g的計算過程很煩躁，離散點的跳躍也錯綜複雜，有e23(1,1)的p(3,10)為證
這就是橢圓曲線加密演算法的破解困難的數學依據，
位元幣系統選用的secp256k1中，引數為
p = 0xffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff fffffffe fffffc2f
= 2^256 − 2^32 − 2^9 − 2^8 − 2^7 − 2^6 − 2^4 – 1，
n = 0xffffffff ffffffff ffffffff fffffffe baaedce6 af48a03b bfd25e8c d0364141，全是非常大的數字。
七、資料**
ecc橢圓曲線加密演算法原理，
ecc橢圓曲線詳解（有具體例項），
橢圓曲線演算法（ecc）學習（一），
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