演算法複雜度簡析

1.時間複雜度

1.1 時間頻度

乙個演算法中語句的執行次數稱為語句頻度或時間頻度。記為t(n)。n稱為問題的規模，當n不斷變化時，時間頻度t(n)也會不斷變化。

1.2 定義

一般情況下，演算法中基本語句重複執行的次數是問題規模n的某個函式，用t(n)表示。若有某個輔助函式f(n),使得當n趨近於無窮大時，t(n)/f(n)的極限值為不等於零的常數，則稱f(n)是t(n)的同數量級函式。記作：t(n)=o(f(n)) 。 o(f(n))稱作演算法的漸近時間複雜度，簡稱時間複雜度。

其中，o表示數量級。該式表示隨著問題規模n的增大，演算法執行時間的增長率和f(n)的增長率相同，即當n趨於正無窮時t(n)的上界是c*f(n)。

1.3 時間複雜度按數量級遞增排序：

常數階o(1)、對數階o(log2^n)、線性階o(n),、線性對數階o(nlog2^n)、平方階o(n^2)、立方階o(n^3),…,k次方階o(n^k)、指數階o(2^n)。

1.4 計算時間複雜度的基本步驟

a. 找出所有語句中頻度最大（執行次數最多）的那條語句作為基本語句。

b. 計算基本語句執行次數的數量級。在計算時，可以忽略所有低次冪項和最高次冪項的係數。

c. 取其基本語句執行次數的數量級放入符號「o」中即可。

1.5 計算技巧

a. 如果演算法的執行時間不隨問題規模n的增加而增長，即演算法中的語句頻度是個常數，即使這個常數再大，演算法時間複雜度都是o(1)。

例：for(i=0;i<10000;i++)

b. 在時間頻度不相同時，時間複雜度有可能相同。如：t(n)=n^2+n+1與t(n)=2n^2+3n+2。它們的頻度不同，但時間複雜度相同，都為o(n^2)。

c. 當有若干個巢狀迴圈語句時，演算法的時間複雜度通常由最深層迴圈內的基本語句決定；如果演算法中包含並列的迴圈，則將並列迴圈的時間複雜度相加。例：

x=0;y=0;
for(k=1;k<=n;k++)
x++;
for(i=1;i
<=n;i++)
for(j=1;j
<=n;j++)
y++;

第乙個迴圈的時間複雜度為o(n)，第二個迴圈的時間複雜度為o(n^2)，則整個演算法的時間複雜度為o(n+n^2)=o(n^2)。

1.6 計算法則

a. 求和法則

若演算法的兩個部分時間複雜度分別為：t1(n)=o(f(n))、 t2(n)=o(g(n))，則t1(n)+t2(n)=o(max(f(n),g(n)))。另外，若t1(m)=o(f(m))、t2(n)=o(g(n))，則t1(m)+t2(n)=o(f(m)+g(n))。

用於順序結構，即需要依次執行一系列語句。

b. 乘法法則

若演算法的兩個部分時間複雜度分別為：t1(n)=o(f(n))、t2(n)=o(g(n))，則 t1*t2=o(f(n)*g(n))。

用於迴圈結構。迴圈語句的執行時間耗費：多次迭代中執行迴圈體以及檢驗迴圈條件。

c. 其餘運算法則

1）若g(n)=o(f(n))，則o(f(n))+o(g(n))=o(f(n))

2）o(cf(n))=o(f(n)) 其中，c為常數。

1.7 各種排序演算法時間複雜度和空間複雜度表

2.空間複雜度

2.1 定義

演算法所需儲存空間的量度。

2.2 儲存空間

乙個演算法在計算機儲存器上所占用的儲存空間包括：儲存演算法本身所占用的儲存空間、演算法的輸入輸出資料所占用的儲存空間、演算法在執行過程中臨時占用的儲存空間。

2.3 計算

當乙個演算法的空間複雜度為乙個常量，即不隨被處理資料量n的大小而改變時，可表示為o(1)；當乙個演算法的空間複雜度與以2為底的n的對數成正比時，可表示為o(1og2^n)；當乙個演算法的空間複雜度與n成線性比例關係時，可表示為o(n)。

演算法複雜度簡析

演算法之時間複雜度簡析

簡析時間複雜度和空間複雜度

簡析時間複雜度和空間複雜度

演算法複雜度簡析

演算法之時間複雜度簡析

簡析時間複雜度和空間複雜度

簡析時間複雜度和空間複雜度

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