rsa密碼體制在我們現在還是非常常用的，但是當今，計算機運算速度之快給該加密方式帶來了一定的威脅，為了保證安全性，它的金鑰長度需要一再地增大，使其運算負擔也隨之增大。相比下，橢圓密碼體制ecc（elliptic curve cryptography）可以用短得多的金鑰獲得同樣的安全性，因而具有廣泛的前景，如果沒記錯的話，區塊鏈技術就有用到橢圓曲線密碼體制，感興趣的小夥伴可以了解了解。
在密碼中，比較普遍的是採用有限域的橢圓曲線，有限域的橢圓曲線指的是曲線方程y2+axy+by=x3+cx2+dx+e（一般形式）中，所有係數都是某一有限域gf（p）中的元素（其中p為乙個大素數）。（gf（p）是定義在整數集合上的域，gf（p）上的加法和乘法分別是模加法和模乘法）。其中最常用的曲線方程是y2≡x3+ax+b(mod p)（其中a，b屬於gf（p），4a3+27b2≠0）。
查閱了很多網上的資料，橢圓曲線上的點集計算大多數的人都是通過**或者偽**（大多都是用暴力窮舉）來表示給我們看。但是對於需要考試，用筆計算的我來說可能不太適用，所以在此，想和大家分享下動筆計算的方法。
以我們假定的橢圓曲線為例，即：橢圓曲線方程為：y2≡x3+x+1，p=23。所以滿足a，b屬於gf（p），4a3+27b2≠0。下面就開始計算點集e23(1,1)，我們可以進行計算第一象限的點集，即{(x, y)|0<=x3+ax+b(mod p)，記錄其值，假定為x』。
2. 對於每乙個y計算y2(mod p)，記錄其值，假定為y』。
3. 如果x』==y』，就記錄（x, y）這一點就是橢圓曲線點集中的一點。
4. 在這個例子中，x可以有23種可能，y也可能有23種可能，所以我們要計算232個點。
5. 最終滿足條件的點所構成的集合就是該曲線方程的點集。
我們可以從步驟種看出我們所需要計算量之大，因此用程式跑，可能會省時省力。
在這個計算中，p點和q點的相加不是我們初高中所列的式子（x1+x2, y1+y2）這麼簡單，橢圓密碼體制下的p+q有其一套運算。
假定p點為(x1, y1)，q點為(x2, y2)，p+q為(x3, y3)，因此p+q由以下規則確定：
x3≡?2-x1-x2(mod p)
y3≡?(x1-x3)-y1(mod p)
?有兩種情況：（1）p=q，（2）p≠q
p=q情況下：?=(3x1
2+a)/(2*y1)
p≠q的情況下：?=(y2-y1)/(x2-x1)
由此我們便將p+q計算出來了。相信大家在學習過程也碰到了2p，3p，…，np的計算，這個不是單純的2*p這麼簡單，而是要進行如p+q的運算，如2p=p+p等等。
到此我們就把在橢圓曲線上比較基本的運算介紹完了，如有不合理的地方，希望大家能批評指正，另外希望能幫助到有需要的小夥伴們。
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