樹狀陣列基礎

基本用法

例題與線段樹比較

樹狀陣列的基本操作流程與線段樹很像，故學習起來時是兩者的操作對比起來學的。線段樹學習之單點更新與區間更新

樹狀陣列(binary indexed tree)是一種與線段樹類似的資料結構，又叫二進位制索引樹(spoil alert ：跟二進位制有關)，主要用於查詢區間和問題，每次只能修改乙個元素的值(加入多個輔助陣列後可實現區間修改和區間查詢)。

樹狀陣列的節點比線段樹少，但也能表示乙個陣列，c

cc陣列為每一列的頂端節點，c[i

]c[i]

c[i]

是子樹的葉子節點的權值之和。

若乙個陣列a

aa有8個數，那麼它的樹狀陣列c

cc如圖所示

由圖我們易看出，

c[
(0001)1
]= a[1]
c[(0010)2
]= a[1]
+ a[2]
c[(0011)3
]= a[3]
c[(0100)4
]= a[1]
+ a[2]
+ a[3]
+ a[4]
....
....
....
....
....
....
....
....
c[(1000)8
]= a[1]
+ a[2]
+ a[3]
+...
+ a[7]
+ a[8]
結合二進位制會發現，c[n]
=a[n-
2^k+1]
+...
+a[n]

由以上性質，我們引申出lowbit函式。

在算2

k2^k

2k時，我們可以使用快速冪的方法，但利用機器補碼算起來會更快。lowbit函式用於將乙個二進位制數所有高位1都去掉，只留下最低位的1，比如lowbit(3)=lowbit(0011(二進位制))=0001=1

int
lowbit
(int x)

若想對x

xx實現單點修改，則需要加上自己的lowbit,直到x≤n

x \leq n

x≤n，從而維護樹狀陣列。

//更新,單點修改 
void
update
(int x,
int k)
}

//單點查詢
intsearch
(int x)
}

void
add(
int x,
int k)
}

void
add(
int x,
int k)
}

//初始化樹狀陣列
void
inittree
(int num)
}

敵兵布陣

#include
#include
using
namespace std;
int n,m;
int tree[
2000010];
intlowbit
(int x)
//區間查詢
intsum
(int x)
return ans;
}//區間修改
void
add(
int x,
int k)
}//初始化樹狀陣列
void
inittree
(int num)
}int
main()
int x,y;
scanf
("%d%d"
,&x,
&y);
if(str[0]
=='q')if
(str[0]
=='s')if
(str[0]
=='a')}
}return0;
}

樹狀陣列可以高效的進行區間統計，思想類似於線段樹，但是比線段樹節省空間(開兩倍的原陣列就ok，線段樹4倍)，**複雜度比線段樹低，實際查詢時間也比線段樹快(樹狀陣列最壞log

(n)log(n)

log(n)

,線段樹nlo

g(n)

nlog(n)

nlog(n

).但是！樹狀陣列的適用範圍比線段樹小。

這週只寫了一題，下週會努力把其他的也補起來的orz

樹狀陣列基礎

基礎樹狀陣列

樹狀陣列基礎

樹狀陣列基礎

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