已知陣列a,元素個數為n,現在要求a陣列中i到j區間內的和(1<=i<=j<=n).
我們完全可以儲存sum[1,k](k=1,2,……),然後對任意給定的查詢區間[i,j],都可以方便的用ans=sum[1,j]-sum[1,i-1],當然這只是沒有元素改變的情況下的比較優化的解法.那麼對於對於陣列中的元素隨時變更的情況下，我們能否還這麼做呢？
如果仍然採取這樣的方法，則每次資料有更新，則需要將更新的元素後的sum值全部再求一次。假設有m次查詢或者更新操作，則時間複雜度將達到m*n了。有沒有更好的辦法來縮小這個時間複雜度嗎？
可以想一下,每次更改的元素可能是比較少的,有時候甚至每次只改變乙個元素,但是在用暴力方法求區間和的時候,卻對區間內所有的元素都累加了一遍,這樣其實造成了許多無謂的運算.這時候也許會想到如果能把一些結果存起來會不會減少很多運算?答案是肯定的,但問題是怎麼存,存什麼?
我們可以利用二進位制的思想。
令這棵樹的結點編號為c1，c2……cn。令每個結點的值為這棵樹的值的總和，那麼容易發現：
c1 = a1
c2 = a1 + a2
c3 = a3
c4 = a1 + a2 + a3 + a4
c5 = a5
c6 = a5 + a6
c7 = a7
c8 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8
…… c16 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 + a10 + a11 + a12 + a13 + a14 + a15 + a16
這裡a是原陣列，c是樹狀陣列。
這裡有1個有趣的性質：設節點編號為x，那麼這個節點管轄的區間為2^k（剛好為x的二進位制中最後乙個1表示的值）。因為這個區間最後乙個元素必然為ax，所以很明顯： cx
=a(x
–2k+
1)+…
…+ax
算這個2^k有乙個快捷的辦法，定義乙個函式如下即可：
int lowbit(int x)int lowbit(int x)
#define lowbit(x) (x&-x)step1: 令sum = 0，轉第二步；
step2: 假如n <= 0，演算法結束，返回sum值，否則sum = sum + cn，轉第三步；
step3: 令n = n – lowbit(n)，轉第二步。
可以看出，這個演算法就是將這乙個個區間的和全部加起來，為什麼是效率是log(n)的呢？以下給出證明：
n = n–lowbit(n)這一步實際上等價於將n的二進位制的最後乙個1減去。而n的二進位制裡最多有log(n)個1，所以查詢效率是log(n)的。
如果修改乙個節點，必須修改其所有祖先，最壞情況下為修改第乙個元素，最多有log(n)的祖先。所以修改演算法如下（給某個結點i加上x）：
step1: 當i > n時，演算法結束，否則轉第二步；
step2: ci = ci + x， i = i + lowbit(i)轉第一步。
下面是樹狀陣列的基本函式：
const
int max = 50000;
#define lowbit(x) (x&-x)
int tree[max+1],n,t;
//更新元素
void update(int pos,int val)
}//求和
int getsum(int x)
return sum;
}//初始化
int main()
}
一次更新的時間複雜度是log(n)
一次求和是log(n).
對於最開始提出的問題，即n個元素的動態陣列進行m次查詢或更新，其總的時間複雜度為mlog(n).
樹狀陣列的實現是非常簡單，思想很巧妙，有一定的應用範圍。大家一定要好好學會。
下面讓我們來看幾道例題。
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