《理解矩陣》（一）- 孟巖：
《理解矩陣》（二）- 孟巖：
《理解矩陣》（三）- 孟巖：
目錄
（一）（二）
（三）1. 空間是什麼？
容納運動的乙個物件的集合。一種空間對應一類物件。
2. 線性空間是什麼？
容納向量物件運動的。
3. 其中的運動（線性變換）如何表述？
矩陣是線性空間中運動的描述。運動是瞬時的，因此也被稱為變換。矩陣與向量相乘，就是實施運動（變換）的過程。
4. 變換是什麼？
空間裡從乙個點到另乙個點的「躍遷」。矩陣是線性空間裡變換的描述。
5. 線性變換是什麼？
從乙個線性空間v的某乙個點躍遷到另乙個線性空間w的另乙個點的運動。
6. 基是什麼？
線性空間裡的座標系。
7. 矩陣定義如何完善？
矩陣是線性空間中的線性變換的乙個描述。在乙個線性空間中，只要我們選定一組基，那麼對於任何乙個線性變換，都能夠用乙個確定的矩陣來加以描述。
8. 線性變換的乙個描述什麼意思？
對於乙個線性變換，只要你選定一組基，那麼就可以找到乙個矩陣來描述這個線性變換。換一組基，就得到乙個不同的矩陣。所有這些矩陣都是這同乙個線性變換的描述，但又都不是線性變換本身。
豬的**描述豬，但又不是豬本身。
9. 如何判斷兩個矩陣描述的是同乙個線性變換？
存在非奇異矩陣p，使得a、b之間滿足：a=p-1bp
一族相似矩陣都是同乙個線性變換的描述。矩陣p，其實就是a矩陣所基於的基與b矩陣所基於的基這兩組基之間的乙個變換關係。
同乙個豬的不同角度的**，描述的是乙個豬。
10. 為什麼要相似變換？
確保描述同乙個線性變換的前提下，改善矩陣的性質。同乙個變換，在不同的座標系下表現為不同的矩陣，但是它們的本質是一樣的，所以特徵值相同。
同乙個豬的**也有美醜之分。
11. 矩陣還有什麼用？
矩陣不僅可以作為線性變換的描述，而且可以作為一組基的描述。而作為變換的矩陣，不但可以把線性空間中的乙個點給變換到另乙個點去，而且也能夠把線性空間中的乙個座標系（基）錶換到另乙個座標系（基）去。而且，變換點與變換座標系，具有異曲同工的效果。
11. 矩陣還有什麼用？
矩陣是由一組向量組成的，如果非奇異，那麼這組向量線性無關，可以成為度量線性空間的乙個座標系。
矩陣描述了乙個座標系。
12. 矩陣描述的是運動？還是座標系？
皆是。運動（物件的變換）等價於座標系變換。固定座標系下乙個物件的變換等價於固定物件所處的座標系變換。運動是相對的。這裡運動與實體統一了，不可道之道。
12.1 如何理解該回答？
ma=b的意思是：
「有乙個向量，它在座標系m的度量下得到的度量結果向量為a，那麼它在座標系i(單位矩陣)的度量下，這個向量的度量結果是b。」
存在的向量需要放在座標系中去度量。
固定物件就是向量a：m矩陣表示出來的那個座標系，由一組基組成，而那組基也是由向量組成的，同樣存在這組向量是在哪個座標系下度量而成的問題。也就是說，表述乙個矩陣的一般方法，也應該要指明其所處的基準座標系。所謂m，其實是im，也就是說，m中那組基的度量是在i座標系中得出的。從這個視角來看，m×n也不是什麼矩陣乘法了，而是宣告了乙個在m座標系中量出的另乙個座標系n，其中m本身是在i座標系中度量出來的。
座標系變換：
對座標系施加變換的方法，就是讓表示那個座標系的矩陣與表示那個變化的矩陣相乘。矩陣mxn，一方面表明座標系n在運動m下的變換結果，另一方面，把m當成n的字首，當成n的環境描述，那麼就是說，在m座標系度量下，有另乙個座標系n。這個座標系n如果放在i座標系中度量，其結果為座標系mxn。
13. 為什麼矩陣乘法要這樣規定？
（1）從變換的觀點看，對座標系n施加m變換，就是把組成座標系n的每乙個向量施加m變換。
（2）從座標系的觀點看，在m座標系中表現為n的另乙個座標系，這也歸結為，對n座標系基的每乙個向量，把它在i座標系中的座標找出來，然後匯成乙個新的矩陣
（3）至於矩陣乘以向量為什麼要那樣規定，那是因為乙個在m中度量為a的向量，如果想要恢復在i中的真像，就必須分別與m中的每乙個向量進行內積運算。
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