尤拉函式的學習

尤拉函式的定義

1 ~ n 中與 n 互質的數的個數被稱為尤拉函式，記為ϕ(n)。

若在算數基本定理中，n = p1 ^ a1 * p2 ^ a2 * … * pk ^ ak

那麼ϕ(n) = n * （1 - 1 / p1） * (1 - 1 / p2) * … * (1 - 1 / pk).

證明過程：

所用到的原理：容斥原理

1.從1 - n 中去掉 p1, p2, …, pk的所有的倍數

2. 加上所有 pi * pj 的倍數

…所以有：

ϕ(n) = n - n / p1 - n / p2 - n / p3 - … - n / pk + n / p1 * p2 + n / p1 * p3 + … n / pk * p(k - 1) - n / p1 * p2 * p3 …

所有得到：ϕ(n) = n * (1 - 1 / p1) * (1 - 1/ p2) * … * (1 - 1 / pk).

#include #include using namespace std;

int main(void) 
}if(x > 1) res = res / x * (x - 1);
printf("%d\n", res);
}return 0;
}

#include #include using namespace std;

const int maxn = 1e6 + 5;
bool vis[maxn];
int prime[maxn], phi[maxn], cnt;
inline void get_phi(int n)  else phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);}}
for(int i = 1; i <= n; i ++)
res += phi[i];
printf("%lld\n", res);
}int main(void)

當 i 是質數的時候，phi[i] = i - 1;

當 i 是和數的時候：

1.當 i % prime[j] == 0 時：phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j]

2.當 i % prime[j] != 0 時, phi[i * prime[j]] = phi[i] * primep[j] * (1 - 1 / prime[j])

= phi[i] * (prime[j] - 1)

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