1 遞迴解決分魚問題

問題描述

a、b、c、d、e這5個人合夥夜間捕魚，凌晨時都已經疲憊不堪，於是各自在河邊的樹叢中找地方睡著了。第二天日上三竿時，a第乙個醒來，他將魚平分為5份，把多餘的一條扔回河中，然後拿著自己的乙份回家去了；b第二個醒來，但不知道a已經拿走了乙份魚，於是他將剩下的魚平分為5份，扔掉多餘的一條，然後只拿走了自己的乙份；接著c、d、e依次醒來，也都按同樣的辦法分魚。問這5人至少合夥捕到多少條魚？每個人醒來後所看到的魚是多少條？

問題分析

假設5個人合夥捕了x條魚，則「a第乙個醒來，他將魚平分為5份，把多餘的一條扔回河中，然後拿著自己的乙份回家去了」之後，還剩下4(x-1)/5條魚。

這裡實際包含了乙個隱含條件：假設xn為第n(n=1、2、3、4、5)個人分魚前魚的總數，則(xn-1)/5必須為正整數，否則不合題意。（xn-1)/5為正整數即(x〜l)mod5=0必須成立。

又根據題意，應該有下面等式：

x4=4(x5-1)/5

x3=4(x4-1)/5

x2-4(x3-1)/5

x1=4(x2-1)/5

則一旦給定x5，就可以依次推算出x4、x3、x2和x1的值。要保證x5、x4、x3、x2和x1都滿足條件(xn-1)mod5=0，此時的x5則為5個人合夥捕到的魚的總條數。顯然，5個人合夥可能捕到的魚的條數並不唯一，但題目中強調了「至少」合夥捕到的魚，此時題目的答案唯一。該問題可使用遞迴的方法求解。

程式設計

在main()函式中構建乙個不定次數的do-while迴圈。定義變數x表示5個人合夥可能捕到的魚的條數，可以取x的最小值為6，讓x值逐漸增加，x每一次取值，都增加5，直到找到乙個符合問題要求的答案。由於題目中問「這5人至少合夥捕到多少條魚」，而我找到的第乙個x值就是5個人至少捕到的魚的總條數。

通過這個迴圈，就可以對每乙個的可能情況進行檢查。當然，是通過呼叫分魚的遞迴函式來進行檢查的。

分魚的遞迴函式如下：

fish()函式中包含了兩個引數：n和x。n表示參與分魚的人數，x表示n個人分魚前魚的總條數。這兩個引數都是由main()函式中傳遞進來的。

根據前面的分析，當n=5時，(x-1)mod50必須成立，否則該x值不是滿足題意的值，退出fish()函式，返回到main()函式，main()函式中再傳遞新的x值到fish中進行檢驗。如果(x-1)mod50條件成立，則要判斷n=4時，(x-1)mod5=0條件是否成立，需要注意的是，此時的形參x是4個人分魚前魚的總條數，即f(5,x)遞迴呼叫f(4,(x-1)/5*4)。這樣依次進行下去，直到n=1時，(x-1)mod5==0條件仍成立，則說明開始從main()函式中傳遞進來的x值是符合題意要求的乙個值，可以逐層從遞迴函式中返回，每次返回值都為1，直至返回到main()函式。

下面是完整的**：

#include/*分魚遞迴函式*/
int fish(int n, int x)
return 0;  /*x不是符合題意的解，返回0*/
}int main()
}while(!flag);  /*未找到符合題意的x，繼續迴圈，否則退出迴圈*/
return 0;
}

執行結果：

五個人合夥捕到的魚總數為3121

知識點補充

本題還可以使用「遞推法」來求解。下面先對遞推法做下簡介。

遞推法：利用問題本身所具有的遞推關係來求解。所謂的遞推關係指的是：當得到問題規模為n-1的解後，可以得出問題規模為n的解。因此，從規模為0或1的解可以依次遞推出任意規模的解。

下面是完整的**：

#includeint main()
fish[5]+=5;
}for(i=1; i<=5; i++)
printf("fish[%d]=%d\n", i, fish[i]);
return 0;
}

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