乙個簡單的位運算及其複雜度分析 Sample

問題：

對於任意非負整數,統計其二進位制展開中數字1的總數。

方法：將n與1位與，若結果為1則將計數器+1，之後將n向右移一位，重複上述過程直至n縮減為0；

例如：

5轉換為二進位制：0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0101

3轉換為二進位制：0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011

1轉換為二進位制：0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001

故 5 & 3 = 1

（位與：第乙個運算元的的第n位於第二個運算元的第n位如果都是1，那麼結果的第n為也為1，否則為0）

#include

using
namespace std;
intcountones
(unsigned
int n)
return ones;
}int
main()

總的迴圈次數為n展開為二進位制後的位數，即1+l

og2n

1 + log_2n

1+log2

​n無論是該迴圈體之前、之內還是之後,均只涉及常數次(邏輯判斷、位與運算、加法、右移

等)基本操作。因此,countones()演算法的執行時間主要由迴圈的次數決定,亦即:o(1

+[lo

g2n]

)=o(

[log

2n])

=o(l

og2n

)o(1+[log_2n])=o([log_2n])=o(log_2n)

o(1+[l

og2​

n])=

o([l

og2​

n])=

o(lo

g2​n

)由大o記號定義,在用函式log r n界定漸進複雜度時,常底數r的具體取值無所謂，故通常不予專門標出而籠統地記作logn，比如,儘管此處底數為常數2,卻可直接記作o(logn)。此類演算法稱作具有「對數時間複雜度」(logarithmic-time algorithm)。

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