比較排序演算法的簡單介紹和複雜度分析

標題長坑，就拿最近有在用的來弄吧，先寫個大概，以後逐漸完善。

對於以下**，預設包含標頭檔案：

#include

1.氣泡排序(bubble sort)

先從課本上最常見的氣泡排序說起吧，c++**如下（個人習慣介紹演算法使用c++，比偽**還通俗易懂.......）

void bubblesort(int *a, int
n)//
每輪迴圈後，都會把乙個最小的元素放在最左邊不遍歷區
}//i輪後，陣列排序完成
}

在下文中，我會給出實驗測試演算法複雜度的方法，我們不急，我先下結論，氣泡排序的複雜度是o（n^2）。

2.插入排序(insert sort)

從個人角度講，在氣泡排序之後，個人喜歡先介紹插入排序，原因在於，在基本演算法中，實驗證明，insert sort是當n<=9時的最優秀演算法，個人喜歡合併使用quick sort 和 insert sort。

void insertsort(int* a, int
length)
a[i + 1] = key;//
插入key
}}

insert sort 同樣是乙個o(n^2)的演算法。

賦值除了採用這種移動陣列的方法，也可以使用對換插入元素的方法，方法如下：

//
另一種賦值方法
#include void insertsortanother(int a, int
length)
}}

效率：t(n)=t(n-1)+n=t(1)+(1+2+3+...+n-1)=t(1)+n*(n-1)/2（最差情況）,是乙個o(n^2)演算法，實際上，式中的n是最差情況，及式前每乙個數都比所選數字大，如果只是亂序微調，n可以降到很小的數，以至於在極限情況下

t(n)=t(n-1)+c=t(1)+c*n，是乙個o(n)演算法，因而insert sort適合對已經基本排好序但是部分退化的資料進行調整。

另外在賦值過程中，可以採用binary search 尋找合適的插入節點來進一步優化演算法，使insert sort在大資料前仍然不太遜色。有時間時我會補充此種插入排序。

3.快速排序(quick sort)

選擇快排作為第三個介紹的演算法，也是因為他在n值足夠大時無與倫比的優越性，這裡有時間我會展開說，先簡單放一下**。

void quicksort(int* a, int low, int
high) 
while (j > i && a[j] >=a[high]) 
swap(a[i], a[j]);
} while (i swap(a[high], a[i]);
quicksort(a, low, i - 1
);    quicksort(a, i + 1
, high);
}

快速排序是一種o(nlogn)的排序演算法。當測試資料足夠大時，其將會顯現出無與倫比的優越性，接下來的測試比較中會有說明。

簡單分析一下複雜度：

∵quicksort先從兩邊一起遍歷將陣列遍歷完整的一遍，然後分成兩部分變為兩個子排序，假設兩個自排序的資料規模是a和b

∴t(n)=t(a)+t(b)+a+b

如果a和b很均勻，及a+b+1=n，考慮到數字很大，a+b≈n

t(n)=2*t(n/2)+n

設n=2^k, t(2^k)=2*t(k-1)+2^k

=(2^(k-1))*t(1)+(1+2+4+8+...+k)*(2^k)

=(2^(k-1))*t(1)+1*(1-2*k)/(1-2)*(2^k)

t(n)=(n/2)*t(1)+(2*log(n)-1)*n=n*(t(1)/2+2*log(n)-1)

我們由此得出，在資料均勻（最佳情況）快速排序是乙個o(n*log(n))的演算法。

而在最差情況下，及每次分出的a和b規模都相差懸殊，a=n-1，b=1

t(n)=t(n-1)+t(1)+n=t(1)+(n-1)*(n+t(1))

我們由此得出，在資料極端（最差情況）快速排序是乙個o(n^2)的演算法。

而其他情況，快速排序的效率在這二者之間，因而，pivot的選擇十分重要，如果pivot能盡量讓資料均勻的分布在兩側，則能獲得更高的效率。一種常用的做法是從資料的頭，中，尾各選取乙個數字，並選擇三者的中間值作為pivot，這種做法大幅度的減少了極端資料的可能，但同時也要考慮選取pivot的這個演算法本身的時間和空間消耗。

若不通過pivot選擇來優化，也可以通過根據資料量優化的方法，即當所排列的資料小於10個時，改用對小資料效率更高的insertsort來進行排序（實驗證明，在資料量為9個時，insert sort有著更佳的效率，考慮到被快排後的資料比較整齊，可以考慮在資料量更多時就停止快排），這種方法排除了quick sort遇到極端資料時的尷尬。另一種做法是當快速排序需要處理的資料規模更小時停止快速排序，之後對所有資料進行一次insertsort，因為處理這種幾乎排列完畢的陣列時，insert sort的效率接近o(n)。

當快排到達一定深度後，用堆排序來完成剩下的工作也是一種不錯的選擇，這樣避免了堆排序的最壞情況，使其保持了o(n*log(n))的複雜度，同時避開了快排的小規模資料處理問題。

在允許出現相同數字的一組資料中，產生最壞情況往往是相同資料導致的，即到某個子排序，所有資料都相同，導致快排進行了無意義的操作。一種可行的方案是將資料分為小於pivot，等於pivot，大於pivot三組，考慮到分三組後實現難度大大增加，一種更簡單的替換方法是，每次獲取資料後檢查一下最左端和最右端的資料，如果相等的話就採用其他排序如insert sort來進行處理。

4.歸併排序（mergesort）

#includeconst
int int_max = 100000000
;const
int index_max = 10000
;void mergesort(int* a, int p, int
r)        
for (int i = 1;i <= n2;++i)
l[n1 + 1] =int_max;
r[n2 + 1] =int_max;
int i = 1
;        
int j = 1
;        
for (int k = p;k <= r;++k)
else}}
}

merge sort同樣是一種o(nlogn)的演算法。

5.選擇排序（selection sort）

作為一種被我剛剛遺忘的o(n^2)演算法，還是要說下的，就先給**：

void selectionsort(int *a, int
length)
std::swap(a[i], a[f]);
}}

直接選擇排序的原理是遍歷陣列每乙個位置，將從該位置到結束的所有點中最小的點放置在該位置。

效率：t(n)=t(n-1)+n=t(1)+(1+n-1)*(n-1)/2=t(1)+n*(n-1)/2,是乙個o(n^2)演算法。

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