堆的定義與基本操作

2021-09-26 05:28:53 字數 1662 閱讀 9004

堆是一顆完全二叉樹，樹中每個結點的值都不小於（或不大於）其左右孩子結點的值，其中，如果父親結點的值大於或等於孩子結點的值，那麼稱這樣的堆為大頂堆，這時每個結點的值都是以它為根結點的子樹的最大值；如果父親結點的值小於或等於孩子結點的值，那麼稱這樣的堆為小頂堆，這時每個節點的值都是以它為根結點的子樹的最小值。堆一般用於優先佇列的實現，而優先佇列的實現預設情況下使用的是大頂堆。

那麼到底如何來建立堆呢？對完全二叉樹來說，比較簡潔的實現方法是用陣列來儲存完全二叉樹，這樣結點就按照層序儲存於陣列中，其中第乙個結點將儲存於陣列中的1號位，並且陣列i號位表示的結點的左孩子就是2i號位，而右孩子則是(2i+1)位。於是可以像下面這樣定義陣列來表示堆。

const int maxn=100;


//heap為堆,n為元素個數


int heap[maxn],n=10;
在建堆的過程中，每次調整都是把結點從上往下的調整。針對這種向下調整，調整方法是這樣的：總是將當前結點v與它的左右孩子比較（如果有的話），假如孩子中存在權值比結點v的權值大的，就將其中權值最大的那個孩子節點與結點v交換；交換完畢後繼續讓結點v和孩子比較，直到結點v的孩子的權值都比結點v的權值小或是結點v不存在孩子結點。

於是可以很容易的寫出向下調整的**，顯然時間複雜度為o(logn)

//對heap陣列在[low,high]範圍內進行調整


//其中low為欲調整結點的陣列下標，high一般為堆的最後乙個元素的陣列下標


void downadjust(int low,int high) 


//如果孩子中最大的權值比欲調整結點i大


if(heap[j]>heap[i])else


} }
那麼建堆的過程也就很容易了。假設序列中元素的個數為n,由於完全二叉樹的葉子結點個數為[n/2],因此陣列下標在[1,[[n/2]]範圍內的結點都是非葉子節點，於是可以從[n/2]號為開始倒著列舉結點，對每個遍歷到的結點i進行[i,n]範圍的調整。為什麼要倒著列舉呢？這是因為每次調整完乙個結點後，當前子樹中權值最大的結點就會處在根結點的位置，這樣當遍歷到其父親結點時，就可以直接使用這個結果，也就是說，這種做法保證每個結點都是以其為根結點的子樹中權值最大的結點。

建堆的**如下，時間複雜度為o（n）

//建堆


void createheap()


}
另外，如果要刪除堆中的最大元素（也就是刪除堆頂元素），並讓其仍然保持堆的結構，那麼只需要最後乙個元素覆蓋堆頂元素，然後對根結點進行調整即可。**如下，時間複雜度為o(logn)'

//刪除堆頂元素


void deletetop()
那麼，如果想要往堆裡新增乙個元素，可以把想要新增的元素放在陣列最後（也就是完全二叉樹的最後乙個結點後面），然後進行向上調整操作。向上調整總是把欲調整結點與父親結點比較，如果權值比父親結點大，那麼就交換其與父親結點，這樣反覆比較，直到堆頂或是父親結點的權值較大為止。向上調整的**如下，時間複雜度為o（logn)

//對heap陣列在[low,high]範圍進行向上調整


//其中low一般設定為1，high表示欲調整的結點的陣列下標


void upadjust(int low,int high)

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