@leetcodex的平方根
簡單的數學問題，這並不是一道考驗思路的題，而是考驗演算法運用的問題，怎麼更快的解決才是王道！請看題幹：
實現 int sqrt(int x) 函式。計算並返回 x 的平方根，其中 x 是非負整數。
由於返回型別是整數，結果只保留整數的部分，小數部分將被捨去。
示例 1:
輸入: 4示例 2:輸出: 2
輸入: 8首先我們第乙份**給到筆者投機取巧通過的乙份**，請看：輸出: 2
說明: 8 的平方根是 2.82842…,
由於返回型別是整數，小數部分將被捨去。
哇塞，直接把要實現的函式給用進了程式裡面，再來乙個強制型別轉換，居然搞定了。
其實不用強制轉成int應該也能通過，但是為了尊重一下題幹，筆者覺得還是寫一下為好。
那麼言歸正傳，本題的正宗思想是什麼？要找到乙個確定肯定以及絕對存在的答案，為什麼不直接使用查詢演算法呢？於是筆者來了一套二分查詢，請看**：
這份**看似簡單，其實暗藏玄機。由於使用int型別可能無法存下某些資料，故乾脆直接掏出long long來的簡單。定義頭尾中間，最終結果是ans，將其與x比較，如果小了就左端變成mid加一，如果大了就右端變成mid減一，判斷簡單又好用，人見人愛。
那麼如何解決要取整的問題呢，比如示例2中的情況，其中8的平方根並不是乙個整數。不用慌，其實這個問題已經不小心解決了。由於迴圈是執行到m<=n這個情況不滿足為止，此時說明n經過最後一次減一之後已經小於m了，說明減一之前的n值和m值都不滿足，並且是過大，而m一路遍歷過來發現目前的n值是偏小，所以此時的這個偏小的n值正是取整之後得到的答案，直接輸出即可通過。
但是真正的大佬早就看不上二分法了，牛頓迭代法才是真正最最高端的解法，請看**：
牛頓解法公式一目了然：ans=(ans+x/ans)/2 **寫完甚至有些意猶未盡，然而問題已經解決了。
所以這個方法到底是怎麼回事？牛頓迭代法又稱為牛頓-拉夫遜（拉弗森）方法，是乙個快速尋找平方根的解法，具體可以參考兩位大佬的blog
以及裡面有對其詳細的分析過程，在這裡我挑挑重點談一談：
要計算x² = n的解，令f(x)=x²-n，相當於求f(x)=0的解，畫出座標影象，取x0，若x0不是解，做乙個經過(x0,f(x0))點的切線，與x軸的交點為x1，再判斷x1是否是解，如果x1也不是解，做乙個經過(x1,f(x1))點的切線，與x軸的交點為x2，以此類推，可以得到無限趨近於f(x)=0的解xi。
對xi的判斷有兩種方法，一是直接計算f(xi)的值是否為0，二是判斷前後兩個解xi和xi-1是否無限接近。經過(xi, f(xi))這個點的切線方程為f(x) = f(xi) + f』(xi)(x - xi)，其中f』(x)為導數，即2x。令切線方程等於0，得xi+1=xi - f(xi) / f』(xi)，繼續化簡得 xi+1=xi - (xi² - n) / (2xi) = xi - xi / 2 + n / (2xi) = xi / 2 + n / 2xi = (xi + n/xi) / 2。
那麼實際應用到本題之中,這個最先取得的x0當然就是x/2+1這個值，從這個值往前進行判斷，這種判斷方法能避免之前二分查詢時的挨個判斷的低效率，但是所耗時間也不會因為這個減少特別多，依據之前的公式推斷即可得到乙個最為借鑑的值，最後乙個數的判斷與二分查詢的判斷原理類似，迴圈判斷條件是ans*ans>x，所以也是能直接得到正確答案。
LeetCode x的平方根
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