本文屬於《程式設計師的數學》讀書筆記系列。作者從送1到100之前求和為例介紹數學歸納法。
我印象中是在小學，數學老師提問的同樣的問題。1+2+3+。。。+100=？
我覺得簡單粗暴的就是直接算，好像還是學珠算的練手的乙個例子。但是高斯是這麼想的，
1+2+3+...+100的計算結果和100+99+98+...+1的計算結果是一樣的，那麼就可以將這兩串數字進行縱向相加，如下：
如此一來，變成了100個101相加，就簡單多了。10100，不過是要求的數的2倍，結果還得除以2，是5050.
歸納
高斯使用了以下等式
如果用變數n來將「1到100」歸納為「1到n」，這樣上面的等式變為如下形式
1+2+3+...+n=
那麼這個等式對於0以上的任意整數n都成立嗎？如果成立該如何證明呢？這時就需要用到數學歸納法了。
斷言g(n)：0到n的整數之和為
數學歸納法是證明有關整數的斷言對於0以上的所有整數是否成立時所用的方法。
假設現在要用數學歸納法來證明「斷言p(n)對於0以上的所有整數n都成立」，則證明步驟如下：
● 步驟1
證明「p(0)成立」；
● 步驟2
證明n不論為0以上的哪個整數，「若p(n)成立，則p(n+1)也成立」。
在上面的證明步驟中，我們將步驟1稱為基底，步驟2稱為歸納。如果步驟1和步驟2都能得到證明，就證明了「斷言p(n)對於0以上的所有整數n都成立」。
首先證明在某個起點值時命題成立，然後證明從乙個值到下乙個值的過程有效。當這兩點都已經證明，那麼任意值都可以通過反覆使用這個方法推導出來。把這個方法想成多公尺諾效應也許更容易理解一些。例如：你有一列很長的直立著的多公尺諾骨牌，如果你可以：
證明第一張骨牌會倒。
證明只要任意一張骨牌倒了，那麼與其相鄰的下一張骨牌也會倒。
● 步驟1：證明基底成立
證明g(0)成立。
g(0)就是「0到0的整數之和與0*(0+1)/2」相等；
可以直接通過計算證明，0到0的整數之和為0，0*(0+1)/2的結果也是0；
步驟1證明完畢。
● 步驟2：歸納的證明
證明n為0以上的任一整數時，「若g(k)成立，則g(k+1)也成立」。
先假設g(k)成立，這時，以下等式成立：
下面來證明，g（k+1） 時成立。
現在進行如下計算，左邊
g(k+1)左邊和右邊的計算結果相同
由此，g(k)到g(k+1)的推導成功，步驟2得到了證明。
至此，通過數學歸納法的步驟1、步驟2都證明了g(n)，也就是說通過數學歸納法證明了斷言g(n)對於0以上的任意整數n都成立。
練習：求出奇數的和
1+3+5+7+。。。+（2n-1） =
注意作者還介紹了反面的例子，黑白棋的問題。
遞迴是首先想到的。比如求和方法sum
比如方法：
int sum(int n) 就是計算加到n的和，我們當然可以把高斯公式帶入，但是試著把數學歸納法的語言翻譯為程式？
第一步：證明n=1是成立的：
if (n == 1) ;
第二步：
①假設對於n-1成立
sum(n-1) 返回加到n-1的和
②把假設的結論帶進去
return sum(n-1) + n;
迴圈不變式
就是常見的for迴圈。 迴圈不變式（loop invariant）屬於電腦科學的概念，它是指某段程式迴圈在迴圈前後該段程式的某種性質（通常指程式的正確性）保持不變。其分為三步：
（1）初始化（迴圈第一次迭代之前）的時候，a[1‥ j -1]的「有序性」是成立的；
（2）在迴圈的每次迭代過程中，a[1 ‥j -1]的「有序性」仍然保持；
（3）迴圈結束的時候，a[1 ‥ j-1]的「有序性」仍然成立。
看這個有些抽象，看書上的例子會好很多。
這裡開始跟程式設計實際有關聯了。
數學歸納法的正確敘述
證明，對於所有正整數n，p n 為真。歸納法的敘述如下 a 給出p 1 為真的證明。b 給出 如果所有p 1 p 2 p n 都為真，則p n 1 也為真 的證明 這個證明應對任何正整數n都為真。列舉幾種不太完整的敘述 最簡單和常見的數學歸納法證明方法是證明當n屬於所有自然數時乙個表示式成，這種方法...
對數學歸納法的總結
什麼是數學歸納法 數學歸納法的原理1 證明 n 1 時命題成立 2 假設 n m 時命題成立,那麼可以推導出在 n m 1的時候命題也成立.m代表任意自然數 數學歸納法的證明1 2 3 n n n 1 2 等差數列求和公式 第一步 驗證改公式在n 1時成立,即 左邊為1,右邊為1 1 1 2 1,等...
回憶下高中的數學歸納法
簡單和常見的數學歸納法是證明當n等於任意乙個自然數時某命題成立。證明分下面兩步 證明當n 1時命題成立。假設n m時命題成立，那麼可以推導出在n m 1時命題也成立。m代表任意自然數 這種方法的原理在於 首先證明在某個起點值時命題成立，然後證明從乙個值到下乙個值的過程有效。當這兩點都已經證明，那麼任...