矩陣的最小路徑和

給定乙個矩陣matrix，從左上角開始每次只能向右或者向下走，最後到達右下角的位置，路徑上所有的數字累加起來就是路徑和，返回所有的路徑中的最小路徑和。

如果給定的矩陣matrix如下：

其中路徑1，3，1，0，6，1，0是所有路徑中路徑和最小的，所以返回12。下面我們使用遞迴的方法來處理這個問題。假設現在矩陣matrix有點a(i,j)，我們要求得點a(i,j)到矩陣右下角的點b的路徑和，需遵循如下規律：

要求得點a(i,j)到點b的路徑和，首先要求得點a的右邊的點到點b的路徑和right，以及點a下面的點到點b之間的路徑和down。那麼最後點a到點b的路徑和記為min + a(i, j)；

當點a(i, j)到達最後一行時，它已經不能向下移動而只能向右移動，其路徑和為點a加上其右邊的點到點b的路徑和；

當點a(i, j)到達最後一列時，它已經不能向右移動而只能向下移動，其路徑和為點a加上其下面的點到點b的路徑和。

下面是求矩陣最小路徑和的遞迴**，具體如下所示。

// 包含大量重複計算
private
static
intgetminpathcore1
(int
matrix,
int row,
int col,
int rows,
int cols)
if(row == rows -1)
return matrix[row]
[col]
+getminpathcore1
(matrix, row, col +
1, rows, cols);if
(col == cols -1)
return matrix[row]
[col]
+getminpathcore1
(matrix, row +
1, col, rows, cols)
;int right =
getminpathcore1
(matrix, row, col +
1, rows, cols)
;int down =
getminpathcore1
(matrix, row +
1, col, rows, cols)
;return matrix[row]
[col]
+ math.
min(right, down);}
public
static
intgetminpath1
(int
matrix)

分析如上遞迴**，我們會發現有許多重複的計算，比如下面遞迴過程中有1 -> 3 -> 1 -> …和1-> 8 - > 1 - > …等多條路徑。顯然從（1,1）到右下角的路徑和被計算了多次。

為了處理這種效果很差的遞迴，下面我們介紹經典動態規劃方法。動態規劃從暴力遞迴中來，它會將每乙個子問題的解記錄下來，避免重複計算。對於上面的矩陣matrix，我們建立乙個同等大小的矩陣dp，其中dp[i][j]的值表示從左上角（即(0,0)）位置走到(i, j)位置的最小路徑和。顯然對應於矩陣matrix第一行的元素來說，只能從(0,0)向右走到(0,j)，所以dp矩陣的第一行的元素dp[0][j]即為matrix[0][0…j]的和，dp矩陣的第一列同理。因此以題目的例子來說，dp矩陣的第一行和第一列的值如下：

除了第一行和第一列的其他位置的元素（i，j），都有上邊位置（i - 1，j）和左邊位置（i，j - 1）。因為從（0,0）到（i，j）的路徑必然經過位置（i - 1, j）或（i，j - 1），所以dp表除了第一行和第一列之外的元素都符合dp[i][j] = min + matrix[i][j]。以本題的例子來說，最終生成的dp矩陣如下：

dp矩陣最右下角的值就是整個問題的答案。具體過程參看如下**：

public
static
intgetminpath2
(int
matrix)
int rows = matrix.length;
int cols = matrix[0]
.length;
int[
] dp =
newint
[rows]
[cols]
;	dp[0]
[0]= matrix[0]
[0];
for(
int i =
1; i < rows; i++
)for
(int j =
1; j < cols; j++
)for
(int i =
1; i < rows; i++)}
//printmatrix(dp);//for test
return dp[rows -1]
[cols -1]
;}

矩陣的最小路徑和

矩陣的最小路徑和

矩陣的最小路徑和

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