一、問題描述
排隊在日常生活中是非常常見的現象。在學校中，每次到了飯點的時間，食堂都會水洩不通，對於同學們來說，減少排隊等待時間是同學們的需求，但是對於食堂來說，增加視窗的同時，也會相應增加運營成本，如何設定視窗的數量，達到雙方都能接受並相對滿意的程度是值得分析的。
理論準備其中：x 表示顧客相繼到達時問間隔的分布；y 表示服務時間的分布；z 表示服務台的個數；a 表示系統的容量，即可容納的最多顧客數；b 表示顧客源的數目；c 表示服務規則。
2、排隊結構與排隊規則
顧客排隊方式：等待制/損失制
排隊佇列數目：單列/多列
是否中途退出：允許/禁止
是否列間轉移：允許/禁止
3、服務機構與服務規則
服務員數目：單個/多個
服務員排列形式：並列/串列/混合
服務時間分布是否平穩：平穩/非平穩
4、排隊論(queuing theory) ，是研究系統隨機聚散現象和隨機服務系統工作過程的數學理論和方法，又稱隨機服務系統理論，為運籌學的乙個分支。從排隊系統程序的主要因素來看，它主要由三部分組成：輸入輸出、排隊規則和服務規則，此食堂視窗服務系統研究模型假設為 m/m/s 等待制多服務台模型。
涉及的主要指標：
平均排隊長度l_q=(p_0 ρ^s ρ_s)/(s!(1-ρ_s )^2 )：系統中排隊等待服務的顧客數
平均等待時間w_q=l_q/λ：乙個顧客在系統中的排隊時間
平均逗留時間w_s=w+t ̅：乙個顧客在系統的全部停留時間
平均顧客數l_s=l_q+ρ；
平均到達率λ；
平均服務率μ；
併聯服務台的數目s；
服務台強度 , 即每個服務台單位時間間隔內的平均服務時間ρ=λ/μs；
系統的穩態概率p_0=[(∑_(i=0)n▒ρi/i!)+ρ^(n+1)/n!(n-ρ) ]^(-1)和繁忙概率p。
三、例項分析
1、模型假設
1.1假定學生在高峰期這段時間達到的人數是無限的，並且是符合引數為λ的泊松分布的，因學生達到的時間間隔是隨機的，服從負指數分布。
1.2每個服務視窗以併聯的方式連線，每個視窗服務上無差別，服務時間服從引數為μ的負指數分布
1.3視窗實行先來先服務原則，認為學生固定在一條佇列裡排隊，不可移動到別的佇列中去。
統計了從某周一到周五11:35 至12：15 午飯高峰期食堂的學生流分布情況：共統計了2615人次的資料（以10 秒為乙個時間單位），如下：
每10秒到達人數 1 2 3 4 5 6
頻數 220 375 765 815 300 140
由概率論的知識可知，若分布滿足p_k/p_(k-1) =λ/k，則該分布為泊松分布。（其中p_k為泊松分布的密度，λ為泊松分布的引數）
λ=1220/2615+2375/2615+3765/2615+4815/2615+5300/2615+6140/2615=3.38
由上表可得λ =3.38。經檢驗，該分布近似於泊松分布。雖然只收集了一周的資料，但考慮到學生到食堂就餐具有較大的穩定性，所以認為收集的資料還是較為可靠的。另不在非高峰期採集資料。
在11:35——12:15這段時間內，系統中有189個同學正在排隊買飯，193個同學正在排隊等待，平均乙個視窗38人。當我們開始排隊時，要排574秒才**到，要等587秒才可以吃上飯。
3、模型分析
學生在食堂排隊的平均逗留時間w_q很大程度上會影響學生對食堂的選擇。研究學生平均逗留時間w_q，是解決此問題的關鍵點。
平均逗留時間w_q是由平均排隊時間w和平均服務時間t ̅組成。我們認為13秒的平均服務時t ̅對於服務員來說已經是最快的服務時間了，服務時間無彈性，故認為平均服務時間t ̅是個常量。
至於平均排隊時w，我們由公式可知它是由顧客到達強度λ，每個顧客的平均服務時t ̅和視窗數s來決定的，由於學生對於食堂的選擇比較固定，即一般都會去同乙個食堂吃飯，所以我們可以認為學生流是穩定的，即λ為常數，由上面的分析又可t ̅也是常數，因此只有視窗數會影響等待排隊時間了，下面我們就s的取值對w的影響進行分析：
由excel可以得到它們兩者之間的擬合分析圖：
縱座標代表平均等待時間w（10秒）
橫座標代表s的視窗數
從圖中可以看出，隨著視窗數的增加，平均排隊等待時間急劇減少，當視窗數為7時，等待時間已經下降超過視窗數為5時的一半以上，隨著視窗數的持續增加，等待時間不斷減少，但是減少的變化量逐漸下降
4、靈敏度分析
視窗數s 5 6 7 8 9 10 11
平均排隊時間w（10秒為單位） 0 42.9 27.79 16.0 8.5 4.5 2.6
∆w 14.5 15.2 11.7 7.5 4 1.9
經上表可知，視窗數從6變化到7時，∆w達到最大
靈敏度q(s,w)=(∆w⁄∆s)/(w⁄s)
視窗數s 5 6 7 8 9 10 11
靈敏度 0 2.02 3.82 5.86 7.80 8.90 8.13
通過上表可以分析得知，平均排隊時間w一定程度上受到了視窗數的影響，其中，視窗數為6、7、8時，平均排隊時間減少量特別明顯，視窗數為5時的時間為574秒，隨後時間從429秒降到277秒。靈敏度隨著視窗數量的增加而增大，在視窗數為7的位置等待時間的減少量達到最大，隨後遞減，可知，儘管10、11的靈敏度值較高，但是∆w很小，效率不算高。
5、優化分析
隨著視窗數量的增加，學生的等待時間逐漸縮短；但是考慮到食堂方成本也會隨之增加，視窗數量並不是越多越好。應當考慮雙方，既要縮短排隊時間，又要考慮成本和收益的關係。因此，對於視窗數的優化上，應當尋求乙個可能的平衡點。
尋求最佳的服務視窗數量s，使得系統總費用f(s)最小。
s為視窗數量，f(s)所產生的費用，f_s為單位時間內平均每個視窗的費用，f_w為平均每個學生在系統中等待時間的損失，l是平均排隊長。
minf(s)=f_s×s+f_w×l
{█(ρ=λ/sμ<1@f_s,s,f_w,l≥0)┤
最佳的視窗數應當滿足以下條件：
{█(f(s_0)≤f(s_0-1)@f(s_0)≤f(s_0+1))┤
由以上可得，
l(s_0)-l(s_0+1)≤f_s/f_w ≤l(s_0-1)-l(s_0)
食堂設有5個視窗，學生每分鐘的到達強度為λ=3.38，ρ=λ/sμ=4.45/s，若要滿足ρ<1，則有s>4.45，這裡我們取f_s/f_w =30，並採用邊際分析法來分析。
5 189.9
6 140.8 [50.3,49.1]
7 89.7 [39.2,51.1]
8 49.8 [25.2,39.9]
9 24.6 [13.7,25.2]
10 10.9
當視窗數為8時，
l(s_0)=49.8,l(s_0+1)=24.6,l(s_0-1)=89.7,
[l(s_0 )-l(s_0+1),l(s_0-1)-l(s_0 )]=[25.2,39.9],
6、結論
s(視窗數量） l（平均排隊的學生數） w_q（平均排隊時間）
q5 189.91 57.48708312 0 0
6 140.85 42.97208665 14.515 1 2.026664
7 89.54 27.7915408 15.18055 1 3.823603
8 49.81 16.03591957 11.75562 1 5.864645
9 24.63 8.586093564 7.449826 1 7.808957
10 10.96 4.542311636 4.043782 1 8.902476
11 4.43 2.611662435 1.930649 1 8.131656
視窗數為8時，系統中排隊的學生數量為50人，每個視窗排隊人數平均為6人，平均排隊時間為160秒，靈敏度為5.86，學生等待時間相較於視窗數5時大幅度減少，且根據優化分析可知此時的運營成本是合理並可接受的，因此視窗數設定為8是符合學生食堂雙方的利益的。
總結
通過利用運籌學排隊論的相關知識，建立了多隊多台排隊模型，研究分析了食堂排隊視窗數如何設定這一問題。排隊論本身是乙個理論化的模型，可能還有其他的因素沒有考慮進去，但最後研究得出的結果也具有一定的參考性。當視窗數量增加時，學生等待時間隨之減少，但視窗數越大並不能達到系統最優，應當尋求乙個使得學生和食堂都能互利雙贏的平衡點，既使得學生等待時長相對減少，又能降低食堂成本。建立乙個高質量高效率的系統，不僅是學生的需求也是食堂的需求，也使得學校後勤保障制度更加完善。
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