求出1-13的整數中1出現的次數,並算出100-1300的整數中1出現的次數?為此他特別數了一下1~13中包含1的數字有1、10、11、12、13因此共出現6次,但是對於後面問題他就沒轍了。acmer希望你們幫幫他,並把問題更加普遍化,可以很快的求出任意非負整數區間中1出現的次數(從1 到 n 中1出現的次數)。
從低位到高位依此判斷出現過1的次數,以百位為例:
1、如果當前位是0,如12034,那麼百位出現過1的情況有100-199、1100-1199、2100-2199、…、11100-11199,一共12個區間,每個區間大小100,所以出現了1200次1。可見當前位是0,它出現過1的次數僅由高位(12)決定,即等於高位(12)乘當前位的權重(100)。
2、如果當前位是1,如12134,那麼百位出現過1的情況是100-199、1100-1199、2100-2199、…、11100-11199、12100-12134,可以看到此時不僅受高位(12)影響,還受低位(34)的影響。所以當前位是1,它出現過1的次數由高位(12)和低位(34)共同決定,即等於高位(12)乘當前位的權重(100)加低位數字(34)+1(00)。
3、如果當前位大於1,如12234,那麼百位出現過1的情況是100-199、1100-1199、2100-2199、…、11100-11199、12100-12199,一共12+1個區間,每個區間大小100,所以出現了1300次1。可見當前位大於1,它出現過1的次數僅由高位(12)決定,即等於高位(12)加1然後乘當前位的權重(100)。
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