若給定序列x=，則另一串行z= 是x的子串行 是指存在乙個嚴格遞增下標序列使得對於所有j=1,2,…,k有：zj=xij。
例如，序列z=是序列x=的子串行，相應的遞增下標序列為。給定2
個序列x和y
，當另一串行z既是
x的子串行又是
y的子串行時，稱
z是序列x和
y的公共子串行。
例如，序列x=，
y=的子串行，是x
與y的公共子串行，但不是最長公共子串行；也是x
與y的公共子串行，但它是x與
y的最長公共子串行，因為x與
y沒有長度大於
4的公共子串行。 給定
2個序列
x=和
y=，找出x和
y的最長公共子串行。
輸入：序列x的長度m，序列y的長度n；序列x各個元素，序列y各個元素
輸出：x與y的最長公共子串行，最長公共子串行的長度。
執行結果:
解法一：窮舉法，列舉出
x所有可能的子串行，並檢查它是否也是
y的子串行，從而確定它是否為公共子串行，在此過程中記錄最長的公共子串行
演算法複雜度分析： 2從x
中任意取
l個元素構成子串行，共有2m
種不同子集。
解法二：
嘗試用動態規劃求解
一、最長公共子串行結構
設序列x = 和y= 的最長公共子串行為z = 則
（1）若xm = yn,zk = xm = yn，且zk-1是xm-1和yn-1的最長公共子串行。
（2）若xm！=yn且zk ！= xm，則z是xm-1和y的最長公共子串行。（反證法：z是xm-1和y的公共子串行，但不是最長的）
（3）若xm！=yn且zk ！=yn，則z是x和yn-1的最長公共子串行。
2個序列的最長公共子串行包含了它們字首的最長公共子串行。
最長公共子串行問題有最優子結構性質。
二、子問題的遞迴結構
由最優子結構性質建立子問題最優值的遞迴關係 用
c[i][j]
記錄序列x和
y的最長公共子串行的長度，其中， xi
=；yj
=。 當
i=0或
j=0時，空序列是xi
和yj的最長公共子串行。故
c[i][j]=0。
其他情況下，由最優子結構性質可建立遞迴關係如下。
三、計算最優值
直接利用遞迴式的演算法是指數時間的，由於在所考慮的子問題空間中，總共有
θ(mn)（θ
是上下界符號）個不同的子問題，因此，用動態規劃演算法自底向上地計算最優值能提高演算法的效率。
b[i][j]記錄c[i][j]是由哪個子問題得到的
void lcslength(int m, int n, char *x, char *y, int c[maxn], int b[maxn])
else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1])
else}}
只是計算出最優值，並未給出最優解，然而陣列
b可用於快速構造兩個序列的最長公共子串行：
b[i][j]=1
時表示xi和
yj的最長公共子串行是由x
i-1和
yj-1
的最長公共子串行加上xi
所得到(斜)
； b[i][j]=2
時表示xi和
yj的最長公共子串行與x
i-1和yj
的最長公共子串行相同
（上）；
b[i][j]=3
時表示xi和
yj的最長公共子串行與x
i和yj-1
的最長公共子串行相同
（左）。 根據
b的內容列印出最長公共子串行
void lcs(int i, int j, char *x, int b[maxn])
else if(b[i][j] == 2)
lcs(i-1, j, x, b);
else
lcs(i, j-1, x, b);
}
動態規劃 最長公共子串行問題
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