演算法設計與分析（七） Graph And Tree

example 1:

input: [ [1,2], [2,3], [3,4], [1,3] ]
output: 1

example 2:

input: [ [1,2], [1,2], [1,2] ]
output: 2

example 3:

input: [ [1,2], [2,3] ]
output: 0

本題要將一堆區間中的某些區間去掉，使得剩下的區間中沒有重疊的部分。而且要求找到最優的篩選法，使得需要刪除的次數最少。

如何使得刪除的次數最少呢？我們可以稍稍「貪婪」一點地想。如果每次我們都將與剩下區間中重疊的區間數最多的那個區間去掉，是不是就是我們這次刪選的最優選擇呢？

很難從數學上證明這種思路是否正確，不過直觀上覺得這是最好的刪選方式。既然有了這種想法，試試就知道是否正確。

聯想資料結構中的鄰接矩陣，我們可以將有重疊的區間視為「相鄰」的，以此可以構造出乙個區間們的「鄰接矩陣」，0代表兩個區間不相鄰，1代表相鄰：

int len = intervals.size();
if(len == 0) return 0;

將每個區間的相鄰區間數儲存起來：

//vectornums(len,0);

顯然，當nums中仍有元素大於0時，說明區間中仍有重疊。

如何判斷兩個區間是否有重疊呢？情況比較多。這時我們可以反過來思考：如何判斷兩個區間沒有重疊呢？這就簡單了。只要某個區間的大端小於另乙個區間的小端。不符合這種的就是有重疊的:

for(int i = 0;i < len;i ++) }}
nums[i] = count;
}

現在開始迴圈驗證：找到nums中最大的元素，如果該元素不為0，將該元素對應的區間刪除，nums置零，並且搜尋鄰接矩陣中該區間的那一行，將其中值為1的對應區間的nums值減一，因為他的乙個響鈴區間被刪掉了。

重複該操作，直到nums中沒有大於0的元素為止：

int max = -1;
while(true) 
}if(max == 0) break;
for(int i = 0;i < len;i ++) 
}ans ++;
}

做完之後驗證，發現結果是不對的。問題在那裡呢？

我們沒有考慮一種特殊的情況：佇列中的相同區間（例如【1,2】、【1,2】）。我們將這種區間簡單地視為普通的重疊區間而已。這種思考有問題。顯然，這種相同區間是一定要刪除的，而且應該盡早刪除，因為其他區間只要與這種區間相鄰，就會增加一大堆的相鄰數。這是一種刪除優先順序比相鄰數更高的區間，所以我們要提前考慮，刪除它們：

for(int i = 0;i < len;i ++) 
}ans ++;
break;
}}}

這種方式的時間複雜度和空間複雜度都很高，其時間複雜度需要刪除的區間數和相同區間數影響，而且**複雜冗長。

我在討論中找到了一種更好的方法。

直接將區間陣列按照區間起點從小到大排序，從第乙個區間開始遍歷，如果前乙個區間的結尾大於下乙個區間的開始，說明兩個區間中有乙個區間要刪除；刪除哪乙個呢？刪除結尾較大的那個，這樣剩下的那個區間與其他區間重疊的機會更小。

如何驗證這種方式是最優的呢？其實不好驗證，這是一種經驗性的總結。如果有讀者，想要證明的可以自己嘗試挑戰一下。

附上兩種方式的完整**;

/**
* definition for an interval.
* struct interval 
*     interval(int s, int e) : start(s), end(e) {}
* };
*/class solution }}
//nums[i] = count;
}for(int i = 0;i < len;i ++) 
}ans ++;
break;}}
}int max = -1;
while(true) 
}if(max == 0) break;
for(int i = 0;i < len;i ++) 
}ans ++;
}return ans;
}};

class solution ;
sort(intervals.begin(), intervals.end(), comp);
int res = 0, pre = 0;
for (int i = 1; i < intervals.size(); i++) 
else pre = i;
}return res;
}};

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