三維幾何平面

平面的表示。

通常用點法式（p0,n）來描述乙個平面。其中點p0是平面的乙個點，向量n是平面的法向量。每個平面把空間分成了兩個部分，我們可以用點法式表示其中乙個半空間。具體是哪乙個呢?是這個法向量所背離的那乙個（即法向量指向遠離半空間的方向）。

既然是法向量，n就垂直於平面上的所有直線。換句話說，平面上的任意點p滿足dot(n,p-p0)=0.

設點p的座標為（x，y，z），p0的座標為（x0，y0，z0），向量n的座標表示為（a，b，c），上述等式等價於

a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0

ax+by+cz+d=0.

注意，當ax+by+cz+d>0時，上述點積大於0，即點(x,y,z)在半空間(p0,n)外。換句話說，ax+by+cz+d>0 表示的是乙個半空間（half space）,a,b,c,d乘-1得到翻轉後的平面。

平面： ax + by + cz = d

//平面 ax+by+cz=d
struct plane
;

過定點垂直於定直線的平面。平面的法向量就是這條直線，所以可以直接寫出所求平面的點法式。

直線與平面的夾角、兩平面的夾角、兩直線的夾角。注意到與平面的夾角可以轉化為與法向量的夾角。兩平面的夾角等於這兩個平面的法線的夾角。

點到平面的距離。把向量p-p0投影到向量n上可得：p到平面的有向距離為dot（p-p0,n）/length(n)。這是乙個相當簡潔的結論。如果n是單位向量，甚至會更簡單。

點p到平面p0-n的距離。n必須為單位向量。

double distancetoplane(const point3 &p, const point3 &p0, const vector3 &n)

-點到平面的投影。

有了距離，投影點本身就不難求了。設點p在平面(p0,n)上的投影為p'，則p'-p=dn，其中d就是p到平面的有向距離。

點p到平面p0-n的距離。n必須為單位向量。

注意此處的小技巧，求d的時候沒有取絕對值。因為不確定p的位置。

point3 getplaneprojection(const point3 &p, const point3 &p0, const vector3 &n)

直線與平面的交點。可以簡單的通過解方程得到。設平面方程為dot（n，p-p0）=0，過點p1和p2的直線的引數方程為p=p1+t(p2-p1)

則與平面方程聯立解得：

t=dot(n,p0-p1) / dot(n,p2-p1)

其中分母為0的情況對應於直線與平面平行，或者直線在平面上，如何區分？只要判斷p1或者p2是否在平面上即可。

直線p1-p2到平面p0-n的交點。假定交點唯一存在。

point3 lineplaneintersection(const point3 &p1,const point3 &p2, const point3 &p0, const vector3 &n)

順便提一下:如果平面用一般式ax+by+cz+d = 0，則聯立解出的表示式為：

t= (ax1 + by1 + cz1 + d) / (a(x1-x2) + b(y1-y2) +c(z1-z2))

過不共線三點的平面。法向量為cross（p2-p0,p1-p0）,任取乙個點即可得到平面的點法式。

平面的旋轉。旋轉到水平平面，即法向量為（0，0，sqrt(a*a + b*b +c*c)）

首先繞z軸旋轉，得到(0, sqrt(a*a + b*b), c) 然後繞x軸旋轉，得到法向量(0,0,sqrt(a*a + b*b +c*c))

對點做旋轉：

繞z軸旋** x' = xcosc - ysinc; y' = xsinc + ycosc; z' = z

繞x軸旋**x' = x;y' = ycosa - zsina; z' =ysina + zcosa

繞y軸旋** x' = zsinb + xcosb, y' = y; z' = zcosb - xsinb

其中角度為平面法向量逆時針旋轉的角度，就等於平面上的點（一般對向量做旋轉，即點與原點相連形成的向量）所旋轉的角度。通過公式就可以得到旋轉後的點了。

void rotation(point3 *p, int n, const plane &p)
//繞x軸旋轉
c = sqrt(b*b + p.c*p.c);
cosc = p.c / c;
sinc = b / c;
for(i = 0; i < n; i++)
}

三維幾何 平面