洛谷 P1641 SCOI2010 生成字串

洛谷 p1641 [scoi2010]生成字串

題目描述

lxhgww最近接到了乙個生成字串的任務，任務需要他把n個1和m個0組成字串，但是任務還要求在組成的字串中，在任意的前k個字元中，1的個數不能少於0的個數。現在lxhgww想要知道滿足要求的字串共有多少個，聰明的程式設計師們，你們能幫助他嗎？

輸入格式：

輸入資料是一行，包括2個數字n和m

輸出格式：

輸出資料是一行，包括1個數字，表示滿足要求的字串數目，這個數可能會很大，只需輸出這個數除以20100403的餘數。

輸入輸出樣例輸入

輸出2 2

29 7

3432

說明題目標籤：組合數學逆元

聽說這好像時一道高考題orz

用n代表1的個數，m代表0的個數，設 x=n+m，y=n-m，建立直角座標系，生成字串就可以用從（0，0）到（n+m，n-m）的上公升n次下降m次的折線表示，所有的情況個數為c(n+m,m)。

要滿足任意的前k個字元中，1的個數大於等於0的個數，也就是影象要始終在x軸的上方（n-m>=0）

如果影象到了x軸下方則存在k=n+m，n-m<0，1的個數小於0的個數

直接求影象在x軸上方的所有情況個數有點困難，根據對稱性可以轉化一下

影象有在x軸下方的情況可以看作折線到達y=-1

將影象到達y=-1之前的影象關於直線y=-1對稱翻摺可以得到

從（0，0）到達y=-1，下降的次數比上公升的次數多一次，翻摺後，可以看成從（0，-2）到y=-1，上公升的次數比下降的次數多一次，這樣，所有存在n-m小於0的情況數等於從（0，-2）上公升n+1次下降m-1次的折線圖像的所有情況個數：c(n+m,m-1)。

所以答案就為c(n+m,m)-c(n+m,m-1)

然後就是處理組合數的問題了，這個資料範圍，用楊輝三角打表不現實，只能逆元打表了，之後用公式求組合數

在模質數m下，求1~n的逆元（n板子：

const int maxn = 1e6+5;
int inv[maxn];
void inverse(int n,int m)
}

推導過程：

由 (m/i) * i + m%i = 0 (mod m)

=> -(m/i) * i = m%i (mod m) 兩邊同時除以 (m%i )*i

=> -(m/i) * (1/(m%i)) = 1/(i) (mod m)

即：-(m/i) * inv[m%i] = inv[i] (mod m)

所以：inv[i]=(m-m/i) * inv[m%i]%m

**：

#include
#define ll long long
using
namespace std;
const ll m =
20100403
;const
int n =
1e6+10;
int inv[n]
,fac[n]
,n,m;
void
init
(int n)
inv[1]
=1;for
(int i=
2;i<=n;i++
)for
(int i=
2;i<=n;i++)}
intcomb
(int a,
int b)
intmain()
int an=
(comb
(m+n,m)
-comb
(m+n,m-1)
)%m;
cout<
return0;
}

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