矩陣連乘問題

問題描述：

矩陣連乘問題是通過給矩陣連乘時加括號，使得總的計算量最小。

考慮3個矩陣相乘的例子， a1,a2,a3,假設這3個矩陣的維數分別為 10x100,100x50,5x50

若按照（（a1a2）a3）方式計算，需要的數乘次數為10x100x5+10x5x50 = 7500

若按照（a1(a2a3)）方式計算，需要的數乘次數為100x5x50+10x100x50 =75000

問題分析：

1.分析最優解的結構

設計求解具體問題的動態規劃演算法的第一步是刻畫該問題的最優解的結構特徵。我們將矩陣連乘積aiai+1....aj簡記為a[ i : j ]。考察計算a[ 1: n]的最優計算次序。設這個計算次序在矩陣ak和ak+1之間將矩陣鏈斷開，1<=k2.建立遞迴關係

從連乘矩陣個數為2開始計算每次的最小乘次數m[i][j]: m[0][1] m[1][2] m[2][3] m[3][4] m[4][5] //m[0][1]表示第乙個矩陣與第二個矩陣的最小乘次數

然後再計算再依次計算連乘矩陣個數為3:m[0][2] m[1][3] m[2][4] m[3][5]

連乘矩陣個數為4：m[0][3] m[1][4] m[2][5]

連乘矩陣個數為5：m[0][4] m[1][5]

連乘矩陣個數為6：m[0][5] //即最後我們要的結果

m[i][j]給出了最優值，即計算a[i:j]所需的最少數乘次數。同時還確定了計算a[i:j]的最優次序中的斷開位置k，也就是說，對於這個k有

m[i][j]=m[i[k]+m[k+1][j] + pi-1*pk*pj

若將對應於m[i][j]的斷開位置k記為s[i][j]，在計算最優值m[i][j]後，可以遞迴地有s[i][j]構造出相應的最優解。

3. 計算最優值

根據計算m[ i ][ j ]的遞迴式，容易寫乙個遞迴演算法計算m[ 1 ][ n ]。但是簡單地遞迴將好費指數計算時間。在遞迴計算時，許多子問題被重複計算多次。這也是該問題可以用動態規劃演算法求解的又一顯著特徵。

用動態規劃演算法解決此問題，可依據其遞迴是以自底向上的方式進行計算。在計算的過程中，儲存以解決的子問題答案。每個子問題只計算一次，而在後面需要時只要簡單查一下，從而避免大量的重複計算。

4. **實現

下面的演算法中，輸入引數p0,p1,……p2儲存在陣列p中。演算法除了輸出最優值陣列外還輸出記錄最優斷開置的陣列s.

演算法首先計算出m[i][i] = 0,i=1,2,3……,n,然後再根據遞迴式，按矩陣鏈增長的方式依次計算m[i][i+1],i=1,2,……n-1,(矩陣鏈長度為2）；m[i][i+2],i=1,2,……n-2,(矩陣鏈長度為3)；在計算m[i][j]時，只用到已經計算出的m[i][k]和m[k+1][j].

#include#define len 6 // 連乘的矩陣個數
using namespace std;
//矩陣的維數分別是 30x35,35x15,15x5,5x10,10x20,20x25
int p[len + 1] =;
int m[len + 1][len + 1] = ;
int s[len + 1][len + 1] = ;
void matrixchain(int *p,int m[len + 1], int s[len + 1])//初始化，即鏈長為1
for(int r = 2; r <= len; ++r)}}
}}void trackback(int i, int j,int s[len + 1])
return lookupchain(1,n);
}private static int lookupchain(int i,int j){
if(m[i][j]>0)
return m[i][j];
if(i==j)
return 0;
int u=lookupchain(i+1,j)+p[i-1]*p[i]*p[j];
s[i][j]=i;
for(int k=i+1;k

矩陣連乘問題

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