等下發樹剖的學習筆記
lct（link—cut—tree） 是解決一類動態樹問題的資料結構
主要是給乙個有根樹的森林，然後有動態插入邊，刪除邊，詢問等操作
保證時刻是乙個森林
lct維護子樹資訊比較麻煩，這裡暫時不提
一、實邊和虛邊：
lct 會將兒子劃分為虛、實兩種兒子，
相應的邊稱為虛邊或實邊，且任意時刻乙個節點最多隻會有乙個實兒子（可能沒有）。由於樹的形態會改變，因此 lct 不是嚴格的劃分虛實兒子，而是動態地改變，它使用了資料結構來維護實鏈（連續的實邊），並且用的是靈活的 splay.
二、實路徑和path_parent：
實邊連成實路徑，且不可伸長。
乙個實邊的path_parent是指這個實邊的最淺節點的父親，用這個性質可以完成許多操作。
三、splay
維護實路徑可以用splay，因為實路徑上任意兩個點都是祖先與子孫的關係。換句話說，如果用深度作為關鍵字給結點排序，那麼我們將得到乙個唯一的有序結點序列。平衡樹中每個結點的左子樹中結點在實路徑中的深度都小於該點，右子樹中的都大於該結點，因此平衡樹的最左結點對應該路徑的頭部，最右結點對應該路徑的尾部。
四、基本操作：
※1.access（x）
這個是最重要的操作：以 x 為起點，一直到根節點，構造出一條鏈。
該操作將 x 到根結點的路徑上的所有邊都變為實邊， 當然，為了保持實邊、虛邊劃分的性質，一部分原來的實邊也要相應變為虛邊。注意該操作會將 x下方的實邊變為虛邊。該操作的步驟如下：
(1) 如果結點 x 不是其所在實路徑的尾部， 即 x有子結點與之用實邊相連， 那麼需要 「斷開」這條邊（斷開並不是將這條邊刪除，而只是將其轉變為虛邊）。方法是首先將結點 x用 splay操作旋轉到所在平衡樹的根結點，然後 x 肯定有右子樹，故將 x 與 x的右子樹分離，同時將 x 的右子樹的 path_parent 設定為 x。
(2) 如果結點 x所在的平衡樹包含根結點，那麼該過程結束；否則，轉步驟(3)；
(3) 設 y 為 x 所在平衡樹的 path_parent。將 y 用 splay 操作旋轉到其所屬平衡樹的根結點，並且用 x 所在的平衡樹替換 y的右子樹，這樣就實現了實路徑的向上延伸。當然到這裡還沒有結束，我們需要分離原來 y 的右子樹，y原來的右孩子記為 p。此時 p 的 path_parent就為 y了，然後繼續轉步驟(2)。
實現時，我們可以把splay中根節點的fa改為path_parent，這樣每個點的父親，要麼是實路徑上的點，要麼是它所處實路徑的path_parent，特別地，這棵樹的根節點的 path_parent 為 0。這樣的話乙個點，它的 fa的左右兒子可能都不為它，因此判斷根節點的條件也需要稍微修改一下。
2.findroot（x）：找到x所在的樹的根節點
我們access（x），然後x就和它的根節點在同一棵平衡樹里了，那麼根節點就是實路徑的頭部。
3.makeroot（x）：使節點x成為其所在樹的根節點
其實就是把x到根的路徑取反。
先access（x），然後給splay的根節點打上翻轉標記，就可以將x到根的路徑取反了。
4.link（x，y）連線x，y這條邊
先makeroot（x），再將x的fa變成y就好了
5.cut（x，y）刪除一條邊
先把x變成根節點makeroot（x），這樣y就是x的子節點，然後就可以access（y），x和y就在同一棵平衡樹里了。然後對 y 執行 splay 操作使其
成為所在平衡樹的根結點，同時分離 y和 y 的左子樹，便完成了邊的刪除操作。
6.select(x,y)：取出樹中(x,y)所在的路徑，進而執行路徑修改、路徑詢問等操作。
執行一次 makeroot(x)將 x 置為其所在樹的根，再執行一次 access(y)操作，就將 x 與 y以及它們路徑上的所有點整合至同一棵平衡樹中了。 此時我們在平衡樹的根節點上打上標記或者直接查詢資訊即可。
五.例題：
bzoj2049
傳送門**：
#include
#include
#include
#include
#include
using
namespace std;
const
int n =
1e4+3;
int n, m, u, v, qr, que[n]
;struct node t[n]
;inline
intwhich
(const
int&x)
inline
bool
isroot
(const
int&x)
inline
void
downdate
(const
int&x)
return;}
inline
void
rotate
(const
int&x)
inline
void
splay
(const
int&x)
rotate
(x);
}return;}
inline
void
access
(int x)
return;}
inline
intfindroot
(int x)
inline
void
makeroot
(const
int&x)
inline
void
link
(const
int&x,
const
int&y)
inline
void
cut(
const
int&x,
const
int&y)
char ch;
inline
intread()
intmain()
else
if(ch ==
'c')
link
(read()
,read()
);else
cut(
read()
,read()
);}return0;
}
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