演算法設計 矩陣乘法

2021-08-27 06:55:37 字數 1882 閱讀 5978

研究生課程系列文章參見索引《在信科的那些課》

設a1,a2,…,an為矩陣序列,ai為pi-1×pi階矩陣,i = 1,2,…,n. 確定乘法順序使得元素相乘的總次數最少.

輸入:向量p =

例項:

p = <10, 100, 5, 50> a1: 10 × 100, a2: 100 × 5, a3: 5 × 50

乘法次序:

(a1 a2)a3: 10 × 100 × 5 + 10 ×5 × 50 = 7500

a1(a2 a3): 10 × 100 × 50 + 100 × 5 × 50 = 75000

先將矩陣鏈加括號分為兩部分,即p=a1*a2*...*an=(a1*a2...*ak)*(ak+1*...an),則有f(n)=f(1)*f(n-1)+f(2)*f(n-2)+...+f(n-1)*f(1)種方法。f(n)為乙個

catalan數,所以一般的方法要計算

輸入p=< p0, p1, …, pn>,ai..j 表示乘積 aiai+1…aj 的結果,其最後一次相乘是:

m[i,j] 表示得到ai..j的最少的相乘次數。

遞推方程:

為了確定加括號的次序,設計表s[i,j],記錄求得最優時最一位置。

由上面的遞迴公式,很容易得到演算法的遞迴實現:

const int n=5;

int m[n][n]; //m[i][j]儲存ai到aj的最小乘法次數

int s[n][n];//s[i][j]儲存ai到aj之間加括號的位置

int recurmatrixchain(int p,int i,int j)

{ m[i][j]=100000;

s[i][j]=i;

if(i==j)

m[i][j]=0;

else{

for(int k=i;k複雜性滿足遞推關係:

由數學歸納法可得:

可見遞迴實現的複雜性雖然較一般演算法有改進,但還是較高。分析原因,主要是子問題重複程度高。如下圖所示:

1..4表示計算ai..j中i=1,j=4的子問題,其子問題包括a1..1,而a1..2,a1..3中都包括子問題a1..1,所以很多子問題被重複計算了多次。

於是,我們想到用自底向上的迭代實現。

迭代實現主要思想是子問題由小到大,每個子問題只計算一次,並且把結果儲存起來,後來用到這個子問題時,直接代入。

void matrixchain(int p,int n)

{ int r,i,j,k,t;

for(i=0;i行7,9,16的迴圈為o(n),外層迴圈為o(1),所以演算法複雜度w(n)=o(n^3)

子問題由小到大的計算過程如下圖所示:

再寫乙個列印結果,以及列印優化函式備忘錄m和標記函式的s的函式:

void printmatrixchain(int s[n],int i,int j)

{ if (i==j)

{ cout的簡單例項,執行上述**:

*注意:上述**與解釋中的下標不同,即**中s[i-1][j-1]表示實際中的s[i,j]

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