最大流增廣路徑演算法也叫ford-fulkerson演算法，這個演算法的思想很簡單。即找一條從s到t的增廣路徑，然後對找到的增廣點列進行流值的修改，一直迭代直到沒有增廣路徑結束。
具體步驟：
d=｛v，a，s，t，c｝中每一條弧的值初始化為0 1.
s是源點，設點集 u=｛s｝，弧的集合 b為空集 ；
2. 弧 a 滿足下列條件之一則加入u;
(1) a 流出u && f (a)< c (a) ; a加入b；
(2) a 流入u && f (a) > 0 ;a加入b；
3. 重複2。
4. (1) 若u中沒有 t 則 f 是最大流；
(2) 若u中有 t 則f 不是最大流，且進行如下步驟；
① 從 b 中找到乙個 s 到 t 的增廣路徑 s-x1-x2······xm-t 。（其實是點列）
② 改變點列上每一條弧的值
如果點列是順著弧 a 的方向的則 f (a) = f (a) + 1;
如果是逆著弧 a 的方向的則 f (a) = f (a) - 1;
③ 其它弧上的流大小不改變。
④ s -> t 的流增加1，轉到1。
現在證明 f 是最大流的充要條件是不存在增廣路徑
「=>」
這個方向很明顯，如果存在一條增廣路徑則 f 可以增加，f顯然不是最大流。
"<="方向比較複雜，我們先證明任意的流小於等於任意乙個極小割的容量。
這個很明顯，設定乙個有效的流，因為每乙個極小割可以把圖分為兩部分a和b，對於s和t之外的每乙個點x，流向x的量等於從x流出的量，所以從a流向b的流和網路的流相等且 <= 這個極小割的容量，這個割是任意的。
由於圖中每條弧的容量確實，所以最大流確定，由於每一輪演算法 f 的值增加1，所以最終能得到乙個不含t的點集u，(3)結束後點集u劃分了乙個 s - t 割 ，並且把圖分成a和b兩部分，u中包含所有s能達到的頂點。由於不存在增廣路徑，則對於 s-t 割中所有流出u的弧有 f(u,v) == c(u,v)，對於所有流入u的弧有 f (u,v) == 0 ；如果 s-t 割不是最小割 ，則存在乙個割的容量小於 f 也和前面的證明產生矛盾，所以此時 s-t 割是最小割。
把 s-t 割中的每條弧的流值相加得到從 a 流向 b 的流，也是整個網路的流f。顯然由每條邊f(u,v) = c(u,v) 知 f == c (s - t)。
若 f 不是最大流，則存在 f 』 > f ，則 f 『 大於 s-t 割的容量，和前面的證明矛盾，所以 f 是最大流，同時最大流也等於最小割，"<="方向成立。
然後是演算法的完善：
每一次的f值可以增加 min｛c(s,x1)-f(s,x1) , c(x1,x2) - f(x1,x2) ······,c(xm,t)-f(xm,t) ｝;因為若min｛c(s,x1)-f(s,x1) , c(x1,x2) - f(x1,x2) ······,c(xm,t)-f(xm,t) ｝< 1 ，則增加 1 之後一定能找到一條相同的增廣路徑。所以不妨一次性使這條路徑達到飽和！
by zhr2010
證明增廣路演算法的正確性
一直對增廣路這種貪心思想表示懷疑，今天看到乙個很好的證明 首先介紹割的概念，所謂圖的割，指的是某個頂點集合s屬於v，從s出發的所有邊的集合成為割 s,v s 這些邊的容量和被稱為割的容量，如果有源點s屬於s，匯點t屬於v s，則稱之為s t割，如果將s t割的所有邊都在原圖中去掉，則不再有s t的路...
證明增廣路演算法的正確性及dinic演算法的使用
一直對增廣路這種貪心思想表示懷疑，今天看到乙個很好的證明。首先介紹割的概念，所謂圖的割，指的是某個頂點集合s屬於v，從s出發的所有邊的集合成為割 s,v s 這些邊的容量和被稱為割的容量，如果有源點s屬於s，匯點t屬於v s，則稱之為s t割，如果將s t割的所有邊都在原圖中去掉，則不再有s t的路...
最大流的增廣路演算法
模板題目鏈結 洛谷p3376 模板來自演算法競賽入門經典 第2版 劉汝佳 include using namespace std define inf 0x3f3f3f3f typedef long long ll const int maxn 100010 struct edge 記錄這條邊的資訊...