動態規劃求解所有字元的組合數

一，問題描述

給定若干個字元，求解 這些字元能夠表示的最多組合個數。比如 一共有七種組合。(每種組合沒有重複的字元 且 組合的種數與順序無關，如 ab 和 ba 是同一種組合)

a、b 、c 、ab 、ac 、bc 、abc

其實，求組合個數，可以用公式來求解:具給定 n種字元，一共有  c(n,1)+c(n,2)+...+c(n,n)種不同的組合。其中，c(n,i)表示：從n個字元中任選 i 個的組合數，數學表示為：c in。

二，dp演算法思路

既然已經可以用上面的公式 c(n,1)+c(n,2)+...+c(n,n) 來計算不同的組合數了，那為什麼還用dp？因為，上面的公式只能給定組合數，但是不能給出具體是哪些組合。

假設輸入 m 個字元（互不相同），則這些字元只能構成長度為 1,2,....m 的組合，設某個組合的長度為 n。即： 1 =< n <= m

設 c[m][n] 表示 使用 m 種不同的字元，表示長度最多為 n 的組合個數 的最大值。

最大值體現了最優子問題性質。最優子問題分析如下：把字元組合分成兩部分，第乙個字元 以及剩下的所有字元。

對於第 m 種字元而言，只有兩種情況：①是字元組合的第乙個字元，②不是在字元組合的第乙個字元。因此，可以應用《組合數學》中的加法原理。（比如 'abc' 就是乙個字元組合）

c[m][n]=c[m-1][n-1] + c[m-1][n]

c[m-1][n-1]，表示第 m 個字元是字元組合中的第乙個字元。此時，該問題變成：用 1,2,...m-1個字元(共 m-1 種) 來 組合 長度為 n-1的 字元組合(『字串』)

c[m-1][n]，表示第 m 個字元不是字元組合中的第乙個字元。此時，該問題變成：在剩餘的 m-1種字元裡面選出 n 個字元來組合。？？？（有點不太對）

'm' ? ? .... ?             第乙個字元是 'm'

'*'  ? ? .....?             第乙個字元不是 'm'

注意，原問題表示的字元組合 長度是 n

這個問題的dp求解與 動態規劃求解最多有幾種方案求解硬幣找零問題 非常相似。

同時，這也是乙個典型的加法原理的應用。

三，**實現

public class allcomposite 

public static int dpallcombination(char str, int n)
//c[n][n]=c[n-1][m-1] + c[n-1][m]
for(int i = 1; i <=n; i++)
}return c[n][n];
}public static void main(string args) ;
int m ,n ;
m = n = str.length;
int result = allcombination(str, m, n);
int result2 = dpallcombination(str, n);
system.out.println(result);
system.out.println(result2);}}

在**裡面 記錄下具體選了哪些字元，就可以列印輸出具有的字元組合了。其實我也不會。

時間複雜度分析：從上面的遞迴方法來看：遞迴表示式為 t(m)=2t(m-1)，得出：t(m)=2^m ，指數級複雜度

而從上面的動態規劃求解方法來看：時間複雜度為o(m^2)

原因就是：這個問題存在重疊的子問題，對於dp而言，不需要重複地計算某些值，而是通過查詢求得。這篇文章 求解兩個字串的最長公共子串行 詳細分析了dp的優勢在**。

（動態規劃的兩個基本特徵：①最優子結構；②重疊子問題）

動態規劃問題之求組合數

我們知道，組合數在組合數學中非常有用，組合數是乙個十分常用的數字。比如，書架上有4本書abcd，我們想拿2本讀，那麼有c 4,2 種方法。這個數字的求法是 4！2！4 2 其中n！1 2 3.n，是階乘數。所以按定義求其實也十分 容易 這裡是指容易寫罷了。先求乙個階乘 def fac n if n ...

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