有向圖強連通分量的tarjan演算法
在有向圖g中，如果兩個頂點間至少存在一條路徑，稱兩個頂點強連通(strongly connected)。如果有向圖g的每兩個頂點都強連通，稱g是乙個強連通圖。非強連通圖有向圖的極大強連通子圖，稱為強連通分量(strongly connected components)。
下圖中，子圖為乙個強連通分量，因為頂點1,2,3,4兩兩可達。,也分別是兩個強連通分量。
直接根據定義，用雙向遍歷取交集的方法求強連通分量，時間複雜度為o(n^2+m)。更好的方法是kosaraju演算法或tarjan演算法，兩者的時間複雜度都是o(n+m)。本文介紹的是tarjan演算法。
tarjan演算法是基於對圖深度優先搜尋的演算法，每個強連通分量為搜尋樹中的一棵子樹。搜尋時，把當前搜尋樹中未處理的節點加入乙個堆疊，回溯時可以判斷棧頂到棧中的節點是否為乙個強連通分量。
定義dfn(u)為節點u搜尋的次序編號(時間戳)，low(u)為u或u的子樹能夠追溯到的最早的棧中節點的次序號。由定義可以得出，
? view code cpp
low(u)
=min
演算法偽**如下
view code cpp
tarjan(u)
從節點1開始dfs，把遍歷到的節點加入棧中。搜尋到節點u=6時，dfn[6]=low[6]，找到了乙個強連通分量。退棧到u=v為止，為乙個強連通分量。
返回節點5，發現dfn[5]=low[5]，退棧後為乙個強連通分量。
繼續回到節點1，最後訪問節點2。訪問邊(2,4)，4還在棧中，所以low[2]=4。返回1後，發現dfn[1]=low[1]，把棧中節點全部取出，組成乙個連通分量。
至此，演算法結束。經過該演算法，求出了圖中全部的三個強連通分量,,。
可以發現，執行tarjan演算法的過程中，每個頂點都被訪問了一次，且只進出了一次堆疊，每條邊也只被訪問了一次，所以該演算法的時間複雜度為o(n+m)。
求有向圖的強連通分量還有乙個強有力的演算法，為kosaraju演算法。kosaraju是基於對有向圖及其逆圖兩次dfs的方法，其時間複雜度也是 o(n+m)。與trajan演算法相比，kosaraju演算法可能會稍微更直觀一些。但是tarjan只用對原圖進行一次dfs，不用建立逆圖，更簡潔。 在實際的測試中，tarjan演算法的執行效率也比kosaraju演算法高30%左右。此外，該tarjan演算法與求無向圖的雙連通分量(割點、橋)的tarjan演算法也有著很深的聯絡。學習該tarjan演算法，也有助於深入理解求雙連通分量的tarjan演算法，兩者可以模擬、組合理解。
求有向圖的強連通分量的tarjan演算法是以其發明者robert tarjan命名的。robert tarjan還發明了求雙連通分量的tarjan演算法，以及求最近公共祖先的離線tarjan演算法，在此對tarjan表示崇高的敬意。
void tarjan(
int i)
else
if(instack[j]
&& dfn[j]
)low[i]
=dfn[j];}
if(dfn[i]
==low[i]
)while
(j!=i);}
}void solve(
)
強連通分量 tarjan求強連通分量
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tarjan 演算法 求強連通分量）
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Tarjan演算法求強連通分量
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