矩陣奇異值分解

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奇異值分解是線性代數中一種重要的矩陣分解，在訊號處理、統計學等領域有重要應用。

定義：設a為m*n階矩陣，

aha的n個特徵值的非負平方根叫作a的奇異值。記為σi

(a)。

如果把aha的特徵值記為λ

i(a)，則σi

(a)＝

λi(aha)^(1/2)。

定理:（奇異值分解）設a為m*n階復矩陣，則存在m階酉陣u和n階酉陣v，使得:

a = u*s*v』

其中s=diag(σi,σ2

,……,

σr)，σi

>0

(i=1,

…,r)

，r=rank(a)

推論：設a為m*n階實矩陣，則存在m階正交陣u和n階正交陣v，使得:

a = u*s*v』

其中s=diag(σi,σ2

,……,

σr)，σi

>0

(i=1,

…,r)

，r=rank(a)

說明：

1、奇異值分解非常有用，對於矩陣a(m*n)，存在u(m*m)，v(n*n)，s(m*n)，滿足a = u*s*v』。u和v中分別是a的奇異向量，而s是a的奇異值。aa'的正交單位特徵向量組成u，特徵值組成s's，a'a的正交單位特徵向量組成v，特徵值（與aa'相同）組成ss'。因此，奇異值分解和特徵值問題緊密聯絡。

2、奇異值分解提供了一些關於a的資訊，例如非零奇異值的數目（s的階數）和a的秩相同，一旦秩r確定，那麼u的前r列構成了a的列向量空間的正交基。

關於奇異值分解中當考慮的物件是實矩陣時: s對角元的平方恰為a'a特徵值. (對復矩陣類似可得)

從上面我們知道矩陣的奇異值分解為: a=usv, 其中u,v是正交陣(所謂b為正交陣是指b'=b-1, 即b'b=i),s為對角陣.

a'a=v's'u'usv=v's'sv=v-1s2v

上式中, 一方面因為s是對角陣, s's=s2, 且s2對角元就是s的對角元的平方. 另一方面注意到a'a是相似與s2的, 因此與s2有相同特徵值.

其實奇異值可以認為是一種特殊的矩陣範數！

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