求最短路徑的演算法有許多種，除了排序外，恐怕是oi界中解決同一類問題演算法最多的了。最熟悉的無疑是dijkstra，接著是bellman-ford，它們都可以求出由乙個源點向其他各點的最短路徑；如果我們想要求出每一對頂點之間的最短路徑的話，還可以用floyd-warshall。
spfa是這篇日誌要寫的一種演算法，它的效能非常好，**實現也並不複雜。特別是當圖的規模大，用鄰接矩陣存不下的時候，用spfa則可以很方便地面對臨接表。每個人都寫過廣搜，spfa的實現和廣搜非常相似。
如何求得最短路徑的長度值？
首先說明，spfa是一種單源最短路徑演算法，所以以下所說的「某點的最短路徑長度」，指的是「某點到源點的最短路徑長度」。
我們記源點為s，由源點到達點i的「當前最短路徑」為d[i]，開始時將所有d[i]初始化為無窮大，d[s]則初始化為0。演算法所要做的，就是在執行過程中，不斷嘗試減小d陣列的元素，最終將其中每乙個元素減小到實際的最短路徑。
過程中，我們要維護乙個佇列，開始時將源點置於隊首，然後反覆進行這樣的操作，直到隊列為空：
(1)從隊首取出乙個結點u，掃瞄所有由u結點可以一步到達的結點，具體的掃瞄過程，隨儲存方式的不同而不同；
(2)一旦發現有這樣乙個結點，記為v，滿足d[v] > d[u] + w(u, v)，則將d[v]的值減小，減小到和d[u] + w(u, v)相等。其中，w(u, v)為圖中的邊u-v的長度，由於u-v必相鄰，所以這個長度一定已知（不然我們得到的也不叫乙個完整的圖）；這種操作叫做鬆弛。
引用內容
鬆弛操作的原理是著名的定理：「三角形兩邊之和大於第三邊」，在資訊學中我們叫它三角不等式。所謂對i,j進行鬆弛，就是判定是否d[j]>d[i]+w[i,j]，如果該式成立則將d[j]減小到d[i]+w[i,j]，否則不動。
(3)上一步中，我們認為我們「改進了」結點v的最短路徑，結點v的當前路徑長度d[v]相比於以前減小了一些，於是，與v相連的一些結點的路徑長度可能會相應地減小。注意，是可能，而不是一定。但即使如此，我們仍然要將v加入到佇列中等待處理，以保證這些結點的路徑值在演算法結束時被降至最優。當然，如果連線至v的邊較多，演算法執行中，結點v的路徑長度可能會多次被改進，如果我們因此而將v加入佇列多次，後續的工作無疑是冗餘的。這樣，就需要我們維護乙個bool陣列inqueue，來記錄每乙個結點是否已經在佇列中。我們僅將尚未加入佇列的點加入佇列。
演算法能否結束？
對於不存在負權迴路的圖來說，上述演算法是一定會結束的。因為演算法在反覆優化各個最短路徑長度，總有乙個時刻會進入「無法再優化」的局面，此時一旦佇列讀空，演算法就結束了。然而，如果圖中存在一條權值為負的迴路，就糟糕了，演算法會在其上反覆執行，通過「繞圈」來無休止地試圖減小某些相關點的最短路徑值。假如我們不能保證圖中沒有負權迴路，一種「結束條件」是必要的。這種結束條件是什麼呢？
思考bellman-ford演算法，它是如何結束的？顯然，最樸素的bellman-ford演算法不管迴圈過程中發生了什麼，一概要迴圈|v|-1遍才肯結束。憑直覺我們可以感到，spfa演算法「更聰明一些」，就是說我們可以猜測，假如在spfa中，乙個點進入佇列——或者說乙個點被處理——超過了|v|次，那麼就可以斷定圖中存在負權迴路了。
最短路徑本身怎麼輸出？
在一幅圖中，我們僅僅知道結點a到結點e的最短路徑長度是73，有時候意義不大。這附圖如果是地圖的模型的話，在算出最短路徑長度後，我們總要說明「怎麼走」才算真正解決了問題。如何在計算過程中記錄下來最短路徑是怎麼走的，並在最後將它輸出呢？
path陣列，path[i]表示從s到i的最短路徑中，結點i之前的結點的編號。注意，是「之前」，不是「之後」。最短路徑演算法的核心思想成為「鬆弛」，原理是三角形不等式，方法是上文已經提及的。我們只需要在借助結點u對結點v進行鬆弛的同時，標記下path[v] = u，記錄的工作就完成了。
輸出時可能會遇到一點難處，我們記的是每個點「前面的」點是什麼，輸出卻要從最前面往最後面輸，這不好辦。其實很好辦，見如下遞迴方法：
程式**
void printpath(int k)
}tmp = tmp->next;
}}while(closed < open);
}然後是鄰接矩陣的：
程式**
void spfa()
int closed = 0, open = 1;
queue[1] = s;
dist[s] = 0;do}
}while(closed < open);
}
最短路徑演算法 SPFA
求最短路徑的演算法有許多種，除了排序外，恐怕是oi界中解決同一類問題演算法最多的了。最熟悉的無疑是dijkstra，接著是bellman ford，它們都可以求出由乙個源點向其他各點的最短路徑 如果我們想要求出每一對頂點之間的最短路徑的話，還可以用floyd warshall。spfa是這篇日誌要寫...
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只要最短路徑存在，spfa演算法必定能求出最小值，spfa對bellman ford演算法優化的關鍵之處在於意識到 只有那些在前一遍鬆弛中改變了距離估計值的點，才可能引起他們的鄰接點的距離估計值的改變。為什麼隊列為空就不改變了呢？就是因為要到下一點必須經過它的前乙個鄰接點。spfa可以處理負權邊。很...
SPFA演算法 最短路徑
spfa是一種求單源最短路的演算法 演算法中需要用到的主要變數 int n 表示n個點，從1到n標號 int s,t s為源點，t為終點 int d n d i 表示源點s到點i的最短路 int p n 記錄路徑 或者說記錄前驅 queue q 乙個佇列，用stl實現，當然可有手打佇列，無所謂 bo...