1.巴什博奕
問題模型：只有一堆n個物品，兩個人輪流從這堆物品中取物品，規定每次至少取乙個，最多取m個，最後取光者得勝。）
結論:n%(m+1)==0先手必敗.否則先手必勝
變形:條件不變，改為最後取光的人輸。 結論：（n-1）%(m+1)==0 先手必敗,否則必勝
2. 威佐夫博奕
問題模型：有兩堆各若干個物品，兩個人輪流從某一堆或同時從兩堆中取同樣多的物品，規定每次至少取乙個，多者不限，
最後取光者得勝。
結論: k=(b-a) (a>b) s = (double )( k * ( sqrt(5.0) + 1 ) / 2 ); s==a 先手必敗,否則必勝
3.尼姆博弈
問題模型：有三堆各若干個物品，兩個人輪流從某一堆取任意多的物品，規定每次至少取乙個，多者不限，最後取光者得勝。
結論: 當石子堆數為n堆時，則推廣為當對每堆的數目進行亦或之後值為零是必敗態。
4.sg函式
對於icg遊戲，我們可以將遊戲中每乙個可能發生的局面表示為乙個點。並且若存在局面i和局面j，且j是i的後繼局面
(即局面i可以轉化為局面j)，我們用一條有向邊，從i出發到j，連線表示局面i和局面j的點。則整個遊戲可以表示成為
乙個有向無環圖：
根據icg遊戲的定義我們知道，任意乙個無法繼續進行下去的局面為終結局面，即p局面(先手必敗)。在上圖中我們
可以標記所有出度為0的點為p點。
接著根據icg遊戲的兩條性質，我們可以逆推出所有點為p局面還是n局面：
因此，對於任意乙個icg遊戲，我們可以採取逆推的方法，標記出所有局面是n局面還是p局面。
但僅僅只是標記n、p，所能得到的資訊太少，於是我們定義了sg(sprague-grundy)函式：
對於乙個遊戲可能發生的局面x，我們如下定義它的sg值：
(1)若當前局面x為終結局面，則sg值為0。
(2)若當前局面x非終結局面，其sg值為：sg(x) = mex。
mex表示a中未出現的最小非負整數。舉個例子來說：
mex = 3, mex=0, mex=2
我們將上圖用sg函式表示後，得到：
可以發現，若乙個局面x為p局面，則有sg(x)=0；否則sg(x)>0。同樣sg值也滿足n、p之間的轉換關係：
若乙個局面x，其sg(x)>0，則一定存在乙個後續局面y，sg(y)=0。
若乙個局面x，其sg(x)=0，則x的所有後續局面y，sg(y)>0。
由上面的推論，我們可以知道用n、p-position可以描述的遊戲用sg同樣可以描述。並且在sg函式中
還有乙個非常好用的定理，叫做sg定理：
對於多個單一遊戲，x=x[1..n]，每一次我們只能改變其中乙個單一遊戲的局面。則其總局面的sg值
等於這些單一遊戲的sg值異或和。
即：sg(x) = sg(x[1]) xor sg(x[2]) xor … xor sg(x[n])
要證明這一點我們只要證明：
(1) 假設sg(x[1]) xor sg(x[2]) xor … xor sg(x[n]) = a，對於任意乙個0 <= b < a，總存在乙個x的後續局面y，
使得sg(y) = b。
(2) 假設sg(x[1]) xor sg(x[2]) xor … xor sg(x[n]) = a，不存在乙個x的後續局面y，使得sg(y) = a。
下先證明(1)：
假設m = a xor
b，設m表示為二進位制之後最高位的1為第k位。所以a的第k位為1，b的第k位為0。又因為a的第k位為1，
至少存在乙個i，sg(x[i])的第k位也為1。那麼一定有sg(x[i]) xor m < sg(x[i])，即一定通過某個操作使x[i]變為x[i』]，
且sg(x[i』]) = sg(x[i]) xor m。那麼：
sg(x[i』]) xor other = sg(x[i]) xor m xor other = m xor a = b
下證明(2)：
若sg(x) = a，sg(y) = a。不妨設我們改變的遊戲為x[i]，則x=x[1..n], y=x[1…i』…n]。有sg(x[i]) = sg(x[i』])，
產生矛盾，所以sg(y)不可能等於a。
5.階梯博弈
博弈在一列階梯上進行...每個階梯上放著自然數個點..兩個人進行階梯博弈...每一步則是將乙個集體上的
若干個點( >=1 )移到前面去..最後沒有點可以移動的人輸..
階梯博弈也是可以轉化成尼姆博弈的.
把所有奇數階梯看成n堆石子..做nim..把石子從奇數堆移動到偶數堆可以理解為拿走石子..就相當於幾個
奇數堆的石子在做nim..
6.chomp!博弈(巧克力遊戲)
有乙個n*m的棋盤，每次可以取走乙個方格並拿掉它右邊和上面的所有方格。拿到左下角的格仔(1,1)者輸，如下圖是8*3的
棋盤中拿掉(6,2)和(2,3)後的狀態。
結論：答案是除了1*1的棋盤，對於其他大小的棋盤，先手總能贏。
分析：有乙個很巧妙的證明可以保證先手存在必勝策略，可惜這個證明不是構造性的，也就是說沒有給出先手怎麼下才能贏。
證明如下：
如果後手能贏，也就是說後手有必勝策略，使得無論先手第一次取哪個石子，後手都能獲得最後的勝利。那麼現在假設先手
取最右上角的石子(n,m)，接下來後手通過某種取法使得自己進入必勝的局面。但事實上，先手在第一次取的時候就可以和
後手這次取的一樣，進入必勝局面了，與假設矛盾。
巧克力遊戲的變形：
約數遊戲：有1~n個數字，兩個人輪流選擇乙個數字，並把它和它的約數擦去。擦去最後乙個數的人贏，問誰會獲勝。
分析：類似巧克力遊戲，得到結論就是無論n是幾，都是先手必勝。
翻棋子遊戲：
題意：乙個棋盤上每個格仔有乙個棋子，每次操作可以隨便選乙個朝上的棋子(x,y)，代表第i行第j列的棋子，選擇乙個形
如(x,b)或(a,y)(其中b < y，a < x)的棋子，然後把它和(x,y)一起翻轉，無法操作的人輸。
分析：把座標為(x,y)的棋子看成大小分別為x和y的兩堆石子，則本題轉化為了經典的nim遊戲，如果難以把棋子看作石
子，可以先把nim遊戲中的一堆石子看成乙個正整數，則nim遊戲中的每次操作是把其中乙個正整數減小或者刪除。
博弈論的一些結論
感謝 自從昨天考了博弈論的一道程式填空題，博弈論的陰雲便一直在我的心上徘徊，今天把這個坑填一下。一.巴什博弈 bash game a和b一塊報數,每人每次最少報乙個,最多報四個,看誰先報到三十.這應該是最古老的關於巴什博弈的遊戲了吧。其實如果知道原理，這遊戲一點運氣成分都沒有，只和先後手有關，比如第...
博弈論 Nim博弈
1.nim博弈的起源很早，至於歷史我們就不再說了，直接說它的使用場景。1 依舊是兩個人博弈，但是物品時n堆，每一堆有ai個。2 每個人可以挑選一堆取走若干個，但是不能不取。3 最先取完所有物品的人獲勝。4 結論 所以堆的物品的數量異或起來是0，先手必敗。2.乙個nim博弈的例項 nim博弈。乍一看這...
博弈論 博弈混合
給你乙個n m的棋盤，然後給你4種棋子，分別是 1.王 能橫著走，或者豎著走，或者斜著走，每次可以走1格 2.車 可以橫著走或者豎著走，每次可以走無數格 3.馬 走日字形，例如 如果現在在 1,1 可以走到 2,3 即先走一格直線，然後斜著走一格 4.王后 可以橫著走，或者豎著走，或者斜著走，每次可...