摘要：從下面看；
一、傅利葉分析究竟是幹什麼用的？
在這一章最開始，我想先回答很多人的乙個問題：傅利葉分析究竟是幹什麼用的？這段相對比較枯燥，已經知道了的同學可以直接跳到下乙個分割線。
先說乙個最直接的用途。無論聽廣播還是看電視，我們一定對乙個詞不陌生——頻道。頻道頻道，就是頻率的通道，不同的頻道就是將不同的頻率作為乙個通道來進行資訊傳輸。下面大家嘗試一件事：
先在紙上畫乙個sin（x），不一定標準，意思差不多就行。不是很難吧。
好，接下去畫乙個sin（3x）+sin（5x）的圖形。
別說標準不標準了，曲線什麼時候上公升什麼時候下降你都不一定畫的對吧？
好，畫不出來不要緊，我把sin（3x）+sin（5x）的曲線給你，但是前提是你不知道這個曲線的方程式，現在需要你把sin（5x）給我從圖里拿出去，看看剩下的是什麼。這基本是不可能做到的。
但是在頻域呢？則簡單的很，無非就是幾條豎線而已。
所以很多在時域看似不可能做到的數學操作，在頻域相反很容易。這就是需要傅利葉變換的地方。尤其是從某條曲線中去除一些特定的頻率成分，這在工程上稱為濾波，是訊號處理最重要的概念之一，只有在頻域才能輕鬆的做到。
再說乙個更重要，但是稍微複雜一點的用途——求解微分方程。（這段有點難度，看不懂的可以直接跳過這段）微分方程的重要性不用我過多介紹了。各行各業都用的到。但是求解微分方程卻是一件相當麻煩的事情。因為除了要計算加減乘除，還要計算微分積分。而傅利葉變換則可以讓微分和積分在頻域中變為乘法和除法，大學數學瞬間變小學算術有沒有。
傅利葉分析當然還有其他更重要的用途，我們隨著講隨著提；
二、相位譜：
乙個完整正弦波公式：a.sin(wt+θ)；a代表振幅，w代表頻率，θ代表相位；不同相位決定了波的位置，所以對於頻域分析，僅僅有頻譜（振幅譜）是不夠的，我們還需要乙個相位譜。那麼這個相位譜在哪呢？我們看下圖，這次為了避免太混論，我們用7個波疊加的圖
鑑於正弦波是週期的，我們需要設定乙個用來標記正弦波位置的東西。在圖中就是那些小紅點。小紅點是距離頻率軸最近的波峰，而這個波峰所處的位置離頻率軸有多遠呢？為了看的更清楚，我們將紅色的點投影到下平面，投影點我們用粉色點來表示。當然，這些粉色的點只標註了波峰距離頻率軸的距離，並不是相位
這裡需要糾正乙個概念：時間差並不是相位差。如果將全部週期看作2pi或者360度的話，相位差則是時間差在乙個週期中所佔的比例。我們將時間差除週期再乘2pi，就得到了相位差。
在完整的立體圖中，我們將投影得到的時間差依次除以所在頻率的週期，就得到了最下面的相位譜。所以，頻譜是從側面看，相位譜是從下面看。下次偷看女生裙底被發現的話，可以告訴她：「對不起，我只是想看看你的相位譜。」
注意到，相位譜中的相位除了0，就是pi。因為cos（t+pi）=-cos（t），所以實際上相位為pi的波只是上下翻轉了而已。對於週期方波的傅利葉級數，這樣的相位譜已經是很簡單的了。另外值得注意的是，由於cos（t+2pi）=cos（t），所以相位差是週期的，pi和3pi，5pi，7pi都是相同的相位。人為定義相位譜的值域為(-pi，pi]，所以圖中的相位差均為pi。
最後來一張大集合：
參考：
Matlab 傅利葉變換 通俗理解（二）
fft是離散傅利葉變換的高速演算法，能夠將乙個訊號變換到頻域。有些訊號在時域上是非常難看出什麼特徵的，可是假設 變換到頻域之後，就非常easy看出特徵了。這就是非常多訊號分析採用 fft變換的原因。另外，fft 能夠將乙個訊號的頻譜提取出來。這在頻譜分析方面也是經經常使用的。fft結果的詳細物理意義...
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快速理解傅利葉變換
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