傅利葉變換是什麼
傅利葉變換是用來幹什麼的
傅利葉變換是怎麼做的
傅利葉變換是什麼
傅利葉變換是法國學者傅利葉提出的一種線性的積分變換，它能將訊號從時域轉換到頻域，或從頻域轉換到時域。對於時域和頻域的我的理解是：
以一首交響樂為例，假設共有10種不同的樂器（如小提琴、薩克斯、鋼琴等），都從頭演奏到尾。
整個交響樂所演奏的樂曲聲音我們可以錄下來作為一段曲子，那麼這段曲子上任取乙個時間點，其聲音都是由10種樂器的聲音所組合形成的。
若從整個時間上看，這段曲子是由10種樂器所演奏出來的，我們可以單獨取出一種樂器，這種樂器所演奏的片段可看作是交響樂的一種組成成分。
從時間點的角度出發，認為樂曲是由無數的時間點組成，時間點上的聲音是10種樂器組合的聲音，這種角度就是時域。從樂器的角度出發，認為交響樂是由10種樂器演奏的樂曲組成，這種角度就是頻域。
而在傅利葉變換中，可以將訊號分解成無數正弦波的疊加，這些正弦波振幅、頻率、相位有所不同，用展示（該**知乎 韓昊）：
我們可以看到，最前面的矩形被分解成了許多正弦波的疊加（其中有一些是直線，那是振幅為0的正弦波）。那麼，傅利葉變換幹的事就是將矩形波（時域的原始訊號）轉換成了若干正弦波（頻域的波形訊號）的疊加，或者相反的過程。
傅利葉變換是用來幹什麼的
傅利葉變換是怎麼做的
首先說明，我只是想對傅利葉變換進行乙個簡單的理解，所以下面的內容在數學推導上也許並不夠嚴謹，只是為了方便大家理解。
首先丟擲傅利葉變換公式：
連續傅利葉變換：
連續傅利葉變換逆變換：
其中，f(ω)為頻率域函式，f(t)為時間域函式，i為虛數符號
傅利葉變換根據訊號的是否連續、是否週期分為4種操作，但我覺得其思路大致相同，區別在於數學推導上的不同。此處就僅僅對這連續傅利葉變換講一下我的理解。
首先介紹尤拉公式：
很明顯，這個公式可以將任意的乙個複數以指數的形式表達出來，且可以寫成a*cos(x) + i*b*sin(x)的形式。由於任意不同的三角函式在2pi的週期上是正交的，那麼我們可以將所有的不同的三角函式作為表達原始訊號的一組基，或者說原始訊號可以是所有的不同的三角函式的乙個線性組合（許多三角函式的係數為0）。
由於正交的存在，我們只需要將原始訊號乘上對應的三角函式ck再進行積分，則原始訊號中屬於其他三角函式的部分與三角函式ck相乘後積分的結果必為0，那麼產生的結果就是原始訊號中屬於三角函式ck的部分和ck相乘積分的結果f(ω)。通過這種方法可以將原始訊號分解成波形訊號的組合，這也是連續傅利葉變換式子的意義。
此處選擇以cos(wx) + i*sin(wx)作為基，我認為選擇這種基有助於逆變換的進行，也有利於計算的進行，並不是非這種形式不可。因為相同頻率的波形訊號都是可以通過拆分與合併來變形成cos(wx) + i*sin(wx)的形式，所改變的只是積分之後的那個係數而已。
對於逆變換，即將波形訊號轉變回原始訊號，則是將原來積分得到的f(ω)再乘上e^(-ix)，即cos(wx) - i*sin(wx)，並進行積分。我們可以發現，cos(wx) - i*sin(wx)與cos(wx) + i*sin(wx)相乘的結果正好是1，這種操作正好將原來對原始訊號乘上cos(wx) + i*sin(wx)的操作的影響消除了從而獲得了原始訊號。
對於其他傅利葉變換的思路大致也如此，在此就不做介紹。
本文只從我對傅利葉變換的理解角度進行介紹，避開了詳細的數學推導以及真正的公式意義，有興趣的同學可以從別的地方在去學習。
參考文獻：
[1] 從頭到尾徹底理解傅利葉變換演算法 july
[2] 傅利葉分析之掐死教程 韓昊
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