拆分數p(n)，就是將n拆分成正整數的和的方案數。
樸素的做法應該是可以做到時空o(
nn√)
一次詢問的，但多組詢問便毫無辦法。
但我們可以通過生成函式和正五邊形數的方法來做到o(
nn√)
預處理o(1)詢問
其實可以看wiki
注意這並不是數論中的尤拉函式 定義ϕ
(x)=
∏∞i=
1(1−
xi)
設拆分數的母函式p(
x)，根據定義有p(
x)=∏
∞i=1
(1+x
i+x2
i+x3
i)..
. 也就是p(x
)=1∏
∞i=1
(1−x
i)所以ϕ(
x)p(
x)=1
但是知道了這一點還是很難做，於是我們需要乙個五邊形數定理ϕ(
x)=∑
i=−∞
∞(−1
)ixi
∗(3i
−1)2
=1+∑i=1
∞(−1
)ixi
∗(3i
±1)2
其中i∗
(3i±
1)2 這樣的數叫做廣義五邊形數，當取減號的時候代表能夠排成五邊形的多邊形的點數。
不懂的可以看
這裡我們可以發現五邊形數是o(n^2)級別的，也就是說我們用這個東西遞推的複雜度就是o(
nn√)
那麼怎麼證明呢？
如果覺得我講的不好的可以看這裡
考慮尤拉函式的第n項的係數代表的意義，就是把n拆成互不相同的偶數個正整數的方案數-把n拆成互不相同的奇數個正整數的方案數
考慮 n 的任意一種劃分的 ferrers 圖（就是wiki裡那種每一行小於上一行的圖）
比如n=20時的一種：
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
設m為最下面一行的元素個數，s為最上面斜對角線的元素個數（這張圖里m=3，s=2)
那麼我們定義一種變換：
1』當m>s時，將這s個元素放到最後一行
例子中的圖會變成
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
0 0
2』當m<=s時，將這m個元素依次放到前s行每一行的末尾
二次操作後的例子會變成
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
觀察可以發現，這種變換會得到n的一種奇偶性不同的拆分，並且進行兩次這種操作之後的圖會變回原來的樣子，也就是這種操作是可逆的。
那麼我們可以發現，每一種偶數劃分方案都唯一對應另一種奇數劃分方案。
也就是x^n的係數本來應該為0才對，不過有些位置有值？
我們會發現上述的規律對於大多數n都使用，除了少數的特例：
1)m=s+1且s那條線與最後一行相遇
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
嘗試操作之後我們得到
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
0 0 0
然而這樣是不合法的。
這個東西對係數的貢獻為(-1)^s
這樣子的點的個數n=
(s+1
)+(s
+2)+
..+(
2s)=
(3s+
1)s2
2)m=s且s那條線與最後一行相遇
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
嘗試操作之後我們會得到
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 奇偶性並沒有發生改變，而是變成了另乙個狀態
這樣對係數的貢獻也是(-1)^s 點數n
=s+(
s+1)
+(s+
2)+.
.+(2
s−1)
=(3s
−1)s
2 所以我們發現不合法的情況只有當n為某個廣義正五邊形數的時候會出現
而且這樣的係數恰好為(-1)^s，其他情況都會奇偶抵消，等於等式右邊。
q.e.d
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