五邊形數是對每條邊上有 \(n\) 個點構成的五邊形的總點數的數列的稱呼。
由上圖，可以得出這個數列的遞迴式。
\[\begin
a_1&=1 \\
a_n&=a_+(3n-2) \\
\end
\]解遞迴式得到通項公式
\[\begin
a_n&=\sum _^n(3i-2)=\frac
\end
\]它也能通過三個三角形數得到。
狹義的五邊形數中 \(n\) 均為正整數，但若我們拓展一下，令 \(n\) 為任意整數，此時形成的數列就是一般的五邊形數數列。
下面給出兩種五邊形數的前幾項。
\[\begin
1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330 \\
0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126
\end
\]其中廣義的五邊形數是按照 \(a_0,a_1,a_,a_2,a_\dots\) 來給出的。容易發現這樣的排列方式恰好構成遞增的序列。
與五邊形數有關的兩個遞迴式都與其生成函式上的性質有關。尤拉發現，乙個無窮乘積的形式冪級數展開式與五邊形數的關係：
\[\phi(x)=\prod _^\infty (1-x^i)=\sum _(-1)^ix^=1+\sum _^\infty (-1)^ix^2}
\]其中右邊的 \(i\) 為任意整數。嘗試列出左邊生成函式的展開式的前 30 項。
\[1-x-x^2+x^5+x^7-x^-x^+x^+x^+\cdots
\]符合上面的式子。
尤拉對此的證明過於繁瑣，下面給出乙個簡單的組合證明。
觀察左邊的無窮乘積，\(x^n\) 的係數其實是 (\(n\) 劃分成偶數個不同數的方案數) - (\(n\) 劃分成奇數個不同數的方案數) 。
現在用一種方法，使他們一一對應起來，達到盡量抵消的目的。
設 \(n\) 的劃分為
\[n=b_1+b_2+\cdots b_m
\]\(b\) 從大到小排序，設 \(s\) 為滿足 \(b_1=b_2+1=b_3+2=\cdots b_s+(s-1)\) 最大的 \(s\) ，即從 \(b_1\) 開始連續下降的個數。
定義一種變換 \(f(b)\)：
容易發現，若 \(f(b)\) 合法，那麼 \(f(f(b))=b\) ，因此所有對 \(f\) 合法的 \(b\) 構成了乙個雙射，並且 \(|f(b)|\) 與 \(|b|\) 奇偶性不同，即可以發生抵消。
關鍵在於無法使用 \(f\) 變換的 \(b\) ，它們就是抵消剩下的東西。無法使用變換僅有兩種情況：
都是五邊形數！
也就是當 \(n\) 為五邊形數的時候會恰好剩餘乙個，係數為 \(m\) 的奇偶性，若 \(m\) 為奇數則 -1 ，否則 1 。
這樣我們就證明了這個展開式。
五邊形數的兩個應用運用了 五邊形數 與 無窮乘積的展開式的關係。
與五邊形數關係最密切的是分拆數。
定義 \(p(n)\) 表示將 \(n\) 分成許多個無序的正整數的和的分法，特別地，\(p(0)=1,\forall k<0,p(k)=0\) 。
例如 \(4=4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1\) ，那麼 \(p(4)=5\) 。
設分拆數的生成函式:
\[p(x)=\sum _^\infty p(i)x^i
\]顯然有 \(p(x)=\frac 1\) ，即 \(\frac 1\) 的泰勒展開為 \(\sum _^\infty x^\) 。
那麼我們可以得到
\[\begin
\phi(x)p(x)&=1 \\
(1+\sum _^\infty(-1)^ix^})(\sum _^\infty p(i)x^i)&=1
\end
\]對比 \(x^n\) 的係數就有
\[\begin
p(0)&=1 \\
p(n)+\sum _^\infty(-1)^ip(n-\frac)&=0
\end
\]因此我們可以用這個東西來 \(o(n\sqrt n)\) 處理出 \(p(1)\cdots p(n)\) 。
定義 \(\sigma(n)=\sum _d\) ，設 \(f(x)=\sum _^\infty \sigma(i)x^i\) 為 \(\sigma\) 的生成函式。
特別地，\(\forall k<0,\sigma(k)=0\) 。
那麼有\[f(x)=\frac
\]由此可以推出
\[\sigma(n)+\sum _^\infty (-1)^i\sigma(n-\frac)=[n是廣義五邊形數]*(-n)
\]\[\begin
f(x)&=\frac \\
-\int \frac \mathrmx&=\ln \phi(x) \\
&=\sum _^\infty \ln (1-x^i) \\
&=-\sum _^\infty\sum _^\infty \frac} \\
\int \frac \mathrmx&=\sum _^\infty\sum _^\infty \frac}
\end
\]對乙個一次多項式 \(f(x)\) 除以 \(x\) 再積分其實就是每項除以其次數，對比兩邊 \(x^n\) 的係數，就有
\[\begin
\frac&=\sum _\frac 1dx^n \\
a_n&=\sum _\frac n d=\sum _ d=\sigma(n)
\end
\]
五邊形數與拆分數
拆分數p n 就是將n拆分成正整數的和的方案數。樸素的做法應該是可以做到時空o nn 一次詢問的，但多組詢問便毫無辦法。但我們可以通過生成函式和正五邊形數的方法來做到o nn 預處理o 1 詢問 其實可以看wiki 注意這並不是數論中的尤拉函式 定義 x i 1 1 xi 設拆分數的母函式p x 根...
五邊形數定理的一種證明
很久以前就知道五邊形數定理了 但是用它a過幾道題，一直不知道怎麼證明感覺很不痛快 qwq 最近在wiki上找到乙個簡單優雅的證明方法 在網上並沒有找到過中文的證明，所以把它粗略翻譯一下，放在這裡 qwq 五邊形數定理是乙個尤拉發現的數學定理，描述尤拉函式展開式的特性，尤拉函式展開式如下 x n 1 ...
幾何畫板畫乙個五邊形內部的方法
五邊形屬於多邊形裡面比較簡單的，就是在四邊形的基礎上增加一條邊而已，五邊形在平面幾何學上指所有由五條邊圍襯成及有五個角的多邊形。完美五邊形和正五邊形都是五邊形的一種特殊型別。幾何畫板作為專業繪圖工具，可以輕鬆就畫出五邊形，可是有的版友會問 那怎麼才能構造乙個五邊形內部呢？本幾何畫板教程就給大家著重講...