動態規劃線性 DP 字串編輯距離

字串編輯距離，即 levenshtein 距離，是**科學家 vladimir levenshtein 提出的概念，是指從乙個字串修改到另乙個字串時，編輯單個字元所需的最少次數，編輯單個字元允許的操作有：替換、插入、刪除。

levenshtein 距離一般用來衡量兩個字串的相似度，一般來說，兩個字串的編輯距離越小，相似度越大。

levenshtein 演算法又稱編輯距離（edit distance）演算法，用於求兩個長度分別為 n、m的字串 a、b 的 levenshtein 距離，其是乙個線性動態規劃的演算法，時空複雜度均為 o(nm)。

其中，在有了編輯距離後，字串 a、b 的相似度定義為：

對於 a、b 兩個字串來說，我們先考慮極端的情況，即 a 或 b 的長度為 0 時，那麼要編輯的次數就是另乙個字串的長度。

之後，我們考慮一般情況，在 k 個操作中有：

對於刪除操作，只需將 a[i] 從 a 中移除，即可完成轉換，此時編輯次數為 k+1

對於插入操作，只需在 a[i] 後加上 b[j]，即可完成轉換，此時編輯次數為 k+1

對於替換操作，只需將 a[i] 轉換為 b[j]，即可完成轉換，需要注意的是，如果 a[i] 與 b[j] 相同，那麼此時編輯次數為 k，如果 a[i] 與 b[j] 不同，那麼此時編輯次數為 k+1

而為了保證將 a[1],a[2],...,a[i] 轉換為 b[1],b[2],...,b[j] 的操作次數是最少的，因此要在三種情況中取最小值，故而只需要按此邏輯進行迭代，保證每一步操作都是最小即可。

我們以字串 a：abroad 與字串 b：aboard 為例，並在計算過程中將每一步的運算元放入 i+1 行 j+1 列的二維陣列 dp 中，此時 dp[i][j] 即為將 a[1],a[2],...,a[i] 轉換為 b[1],b[2],...,b[j] 所需的最小運算元。

首先考慮極端情況，即 a 為空字串或 b 為空字串時，需要的操作此時為另一字串的長度，即：dp[i][0]=i，dp[0][j]=j

之後我們考慮一般情況，從頭到尾遍歷這個二維陣列，從第一行到最後一行，根據定義來計算 dp[i][j] 的值，即 dp[i][j] 的值由 dp[i][j] 的上方元素 dp[i-1][j]、左方元素 dp[i][j-1]、左上方元素 dp[i-1][j-1] 的值來計算得出

最後 dp[alen][blen] 即為字串 a 轉換到 b 的 levenshtein 距離。

如下圖，最終 "abroad" 與 "aboard" 的 levenshtein 距離

動態規劃 線性 DP 字串編輯距離