關於矩陣快速冪的相關題目的思考：
1. 第乙個問題是關於看到的一道題意較為簡單的矩陣快速冪的題目：problem of precision，就是讓求（
5+2*sqrt(6))^n
，由於他的
n次方一定為這樣的形式
xn+yn*sqrt(6)
。這樣可以由
(xn-1+yn-1*sqrt(6))*(5+2*sqrt(6))
直接得到第
n項和第
n-1項之間的係數關係，進而得到矩陣：
5 12 * （
xn-1,yn-1)^t=(xn,yn)^t
2 5
這些都不是難點，問題是為什麼用矩陣求得的係數不能直接用來乘sqrt(6)，而是轉換一下？首先，我為什麼思考這個問題有二，首要是博主沒有直接給出原因，說自己這樣做很蠢，然後就是這個係數轉換的工作似乎並不好想，而且不是適用於所有類似的題目，這樣不能用就很坑了，明明都是推出來的，為什麼
xn可以用
yn就不可以用。於是我也很蠢的試了一下，果然樣例都過不去，正要回頭去看資料怎轉化的時候，突然想到了會不會是
mod的原因，因為做係數運算的時候可不帶著這個
sqrt(6),
可能會引起該進製的地方沒有進製，這樣就很坑了。於是把
mod去掉，果然與推得的結果完全相同，思考正確。
然後就是另外乙個問題，也就是如何轉換？首先我們知道根號和mod在做係數運算的時候不能同時存在，會引起進製的問題。那麼我為什麼說這個轉換方式適用面比較窄呢？因為利用共軛的性質進行的轉換對這個題目的型別有嚴格的要求，那就是括號裡的數共軛之後一定小於
1 且大於
0。共軛的性質是：可以自由出入運算符號，於是就有：（
a+b*sqrt)^n+(a-b*sqrt)=2xn,
由於取共軛之後小於1大於
0，要求為向下取整，所以所得結果為
2xn-1
。2.
若用矩陣a表示乙個圖，有邊則為
1，無邊則為
0，那麼從乙個點s過
k個點t的方案總數為，
a^k後
a[s][t]
的值。第二次見這個知識點，雖然美學離散數學的我一臉懵逼，但是這次讓我對上次那個題目有了一些理解。就是為什麼從自己到自己，當然自己到自己了，因為成環唄。所以對角線元素加一起就是方案總數。同時就有了個疑問，為什麼依然是
k次方，而不是
k+1次方，畢竟要回到自己。轉念一想，經過
k點，那本來就不算自己吧，最後再算上
...不知道這樣解釋是不是有點牽強。
構造矩陣的方法總結：
其實這裡不能說構造矩陣的方法，而應該說是找遞推式的方法。矩陣的構造其實並不是件難事，一般根據遞推式，列出相應的列向量，然後列出這個列向量的下一階，然後根據遞推關係確定矩陣即可。而且最終的矩陣並不是唯一的，這也就是說矩陣的構造不難的原因。
那麼，遞推關係應該怎麼找呢？我看過的題目大概有這樣幾種情況：
1. 裸給出遞推關係（這樣的題就是純考你知不知道矩陣快速冪怎麼寫的，實在沒什麼意思，也就是所謂的入門題，一開始最喜歡看的題種，看多了就覺得掉價了。）。
2. 隱式的給出推倒遞推關係所需要的其他一些關係式，然後讓你自己推。這種題目主要是認清你有什麼，還有什麼條件沒用，用這個條件能得到怎麼樣的關係。個人認為這類題目裡面比較好的乙個題目是：another kind of fibonacci，這個題目雖然過程複雜，但對找關係是個很好的鍛鍊。
3. 給出一種環境，根據環境推導。我覺得一般靠環境推的不多，倒是靠樣例（主要這種題一看給的資料要求特別大，而且好像這項跟之前有些關係），不行可以待定係數，最多也就是跟前面兩三項有關係，不行再加上個常數，然後根據環境調整你待定出來的公式，這樣反而好找。
4. （a+sqrt(b))^n型別，這種型別的題目一種常見的解就是遞推矩陣加共軛關係，上面已經說過，後來也有過題目驗證過思路的正確性。還有一種利用共軛關係的方法，由於知道要求
2*xn
，那麼就可以找這個和上乙個的關係解決，也就轉換成了
2中找遞推關係的題目，當然，這個比較難想。
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