演算法導論第5章概率分析和隨機演算法

考慮乙個僱傭助理的問題，對於每乙個出現的應聘者，若該應聘者比之前所有應聘者都好，則僱傭該應聘者。

初始化時建立乙個虛擬的應聘者編號0，他比其他所有應聘者都差，則過程如下：

該問題的費用模型並不關注執行時間，而是面試和僱傭產生的費用。面試費用較低為ci，僱傭費用較高為ch，則若m是僱傭人數，總費用為o(cin+chm)。應聘人數總是為n，因此只關注chm。這個量在該演算法的每次執行中都不同。

對於最壞情況，應聘者質量按出現的次序嚴格遞增，此時僱傭了n次，總費用o(chn)。

可以使用概率分析的方法來分析這個演算法的執行時間。假設應聘者以隨機順序出現，以1到n表示應聘者的名次，則出現順序是數字1到n的n!種可能排列中等概率的隨機一種。

如果乙個演算法的行為不僅由輸入決定，也由隨機數生成器產生的數值決定，則稱這個演算法是隨機的。乙個隨機演算法的執行時間稱為期望執行時間。

假設應聘者以隨機順序出現，x為僱傭新助理的次數，則：

我們使用指示器隨機變數來分析僱傭問題：

則：因此總僱傭費用平均情形下為o(chlnn)。

許多時候，我們無法得知輸入分布的資訊，因而阻礙了評價情況分析。如對於僱傭問題，可能出現的最壞情況僱傭次數等於應聘人數，最好情況則只需僱傭1人。由此引入了隨機演算法，使得沒有特別的輸入會引出它的最壞情況行為：

其費用期望是o(chlnn)。

很多隨機演算法通過對給定的輸入變換排列以使輸入隨機化。一種方式是對每個元素賦乙個隨機優先順序，並依據優先順序排序：

該方法可以產生乙個均勻隨機排列，其中使用範圍1到n3是為了盡量避免重複。

另一種方法是原址排列給定陣列：

該方法也可以產生乙個均勻隨機排列。

演算法導論 第5章 概率分析和隨機演算法