遞推之猴子爬山

遞推是利用問題本身所具有的遞推關係求解問題的方法。所謂遞推，是在命題歸納時，可以由數量分別為n-k,…,n-1的情形推得數量為n的情形，或者反過來由數量分別為i+k,…,i+1的情形推出數量為i的情形。

我們大家比較熟悉的應該就是斐波那契數列了；這裡給大家講一下稍微複雜一點的遞推——猴子爬山問題。

乙個猴子在一座有30級台階的小山坡上跳躍，猴子一步可以跳躍1級或者3級，試求上山一共有多少種不同的走法？

設爬k級台階的不同爬法有f(k)種，

(1)尋找f(k)的遞推關係。上山最後一步到達第30級台階完成上山，共有f(30)種不同的走法；到第30級台階之前呢？無非是在第29級（上跳1級就行了），有f(29)種；或者位於第27級（上跳3級就行了），有f(27)種；於是f(30)=f(29)+f(27);

以此類推，有以下遞推關係：

f(k)=f(k-1)+f(k-3) (k>3);

(2)確定初始條件

f(1)=1;

f(2)=2;

f(3)=2;

(3)code如下：

int main()

問題引申：設爬n級台階，一步有m種跨法，一步跨多少級均從鍵盤輸入，求共有多少種不同的爬法。

這是乙個分級遞推問題，設爬山t級台階的不同爬法為f(t)，從鍵盤輸入的m個整數分別為x(1),x(2),x(3),.........,x(m)    (約定x(1)2)<...x(m)1)時，f(t)=0，f(x(1))=1  (初始條件）
當x(1)2)時，第1級遞推，f(t)=f(t-x(1))
當x(2)3)時，第2級遞推，f(t)=f(t-x(1))+f(t-x(2))
.......
一般地，當x(k)1)，k=1,2,,...,m-1, 有第k級遞推：
f(t)=f(t-x(1))+f(t-x(2))+....+f(t-x(k))
當x(m)1))+f(t-x(2))+...+f(t-x(m))
當t=x(2)或x(3)...x(m)時，還要加1，因為t本身就是乙個一步到位的爬法，則 f(t)=f(t)+1;
我們所求的目標就是
f(n)=f(n-x(1))+f(n-x(2))+...+f(n-x(m))
再設計遞推的過程中可以把台階數記為陣列x(m+1)
main()
for(i=1;i<=x[1]-1;i++) 
f[i]=0;  //確定初始條件
x[m+1]=n;
f[x[1]]=1; //初始條件
for(k=1;k<=m;k++)  //一共m種爬法，實現對每一種爬法的累加
for(t=x[k]+1;t<=x[m+1];t++)
printf("共有不同的爬法種數為:%d",f[n]-1);  //因為用到了x[m+1],將他也看成了一步走法，所以減1

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