字尾自動機筆記

參考了hihocoder和clj的課件，看了看hzwer的**，懂了些東西，記一下。

字尾自動機是一棵trie樹。

給出乙個字串s，對於s的乙個子串s，right(s) 代表乙個集合，為s在s中所有出現的結束位置集合。

以s=」aabbabd」為例，right(「ab」) = ，因為」ab」一共出現了2次，結束位置分別是3和6。同理right(「a」) = , right(「abba」) = 。

對於乙個字串集合，若這個集合中所有的字串擁有相同的right集合，那麼我們可以給這個集合乙個狀態s, 用substring(s)代表這個集合，這個集合也對應著乙個right(s)集合。

那麼現在就存在乙個s substring right集合的一一對應關係。

對於substring(s)，存在longest(s)和shortest(s)分別代表substring(s)中的最長和最短字串，其長度分別為l(s)與r(s)。

對於乙個longest(s)，我們不斷地去除他的第乙個字元，直到其變為shortest(s)，這個過程中出現的l(s)- r(s) + 1個字串必然都屬於substring(s)。

若我們將shortest(s)的第乙個字元刪去（此時當然是假定shortest(s)不為空串），必然會導致狀態的改變，因為此時的right集合變大了，而s和right(s)，substring(s)一一對應。

具體可以參照下圖。

我們用fa(s)來代表從s進行的一次跳轉到達的新狀態。

若把狀態按fa來建圖，顯然可以得到乙個樹形結構，我們稱之為parent樹。

對於這棵樹存在以下性質：

1. max

(fa(

s))=

min(

s)−1

m ax

(fa(

s))=

min(

s)−1

。 2. rig

ht(s

)∈ri

ght(

fa(s

))r ig

ht(s

)∈ri

ght(

fa(s

))。定義st(t)為從空串狀態走了字串t到達的狀態，trans[p][c]代表從p狀態新增新的字元c能夠到達的狀態。

若干個狀態作為點，構成了字尾自動機，這個字尾自動機藉由trans組成了trie樹，而這個trie樹上的部分節點又類似ac自動機的fail那樣構成了parent樹。

構造方法clj課件已經給出了，這裡掛上**並標以注釋。

namespace sam
void init() 
void add(int c) }}
void build(char *str) 
};

需要注意的是**中的l代表的是longest，shortest可以根據父親節點的longest推出來。

…………………………………………………………………………………………………………

昨天做男人8題，sam簽到，惡補之後過了，於是回來填坑。- 2018.3.26

substrings spoj - nsubstr

對於乙個子串，它所對應的right集合的大小即為當前子串出現的次數，由於right集合的包含關係，推導出所有節點的right的大小。

那麼我們如何求解right集合呢？

~1. 首先sam上得到的圖是dag，需要拓撲排序使得其有序化。

void topo() 
queue
q;q.push(1);
while(!q.empty()) }}

~2. 把初始串能夠得到的位置的right集合大小設為1。

int p = 1;
for(int i = 0; i
< len; i++)

~3. 在拓撲排序有序後的序列上，倒著把子節點的right並到父節點上。

for(int i = g.size()-1; i >= 0; i--)

這樣我們就能求出所有的right集合的大小。

回到這個問題，我們想要知道的是長度為x的子串出現的最大次數。

首先對於每個節點，我們通過計算出這個節點對應的right集合，可以知道這個節點對應的長度為shortest至longest的子串出現次數都為right，其實我們只需要在意長為longest的子串出現的次數即可，因為長度小於它的出現的次數必然只會大於等於它。所以我們記錄下每個節點對應的長為longest對應的答案，然後倒著dp即可。

for(int i = 1; i
<= cnt; i++)
dp[l[i]] = max(dp[l[i]], right[i]);
for(int i = len; i >= 1; i--)
dp[i] = max(dp[i], dp[i+1]);

a string game直接建sam，然後在dag上跑sg函式即可。

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define n 440000
using
namespace
std;
typedef
set::iterator itr;
int n,k,cnt;
string a[n];
int g[n],sum[n];
struct edgee[n<<1];
struct sam_
inline
void add(int x,int id)
}p=q;
}void init() 
} sam;
int sg[n];
//int dfs(int p) ;
for (int j = 0; j < 26; ++j) 
for (int j = 0; j < 27; ++j) 
}return sg[p];
}char s[n];
int gao() 
return sg[p];
}int main()
memset(sg, -1, sizeof sg);
dfs(1);
int m, ans = 0;
scanf("%d", &m);
while (m --) ans ^= gao();
if (ans)  else }}

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