1.1 二分法
利用二分進行開平方的思想很簡單：假定中值為最終解。假定下限為0，上限為x，然後求中值；然後比較中值的平方和x的大小，並根據大小修改下限或者上限；重新計算中值，開始新的迴圈，直到前後兩次中值的距離小於給定的精度為止。需要注意的一點是，如果x小於1，我們需要將上限置為1。**如下：
float sqrtbybisection(float n)
while(fabsf(mid-last) > eps); //eps為精度，一般為0.000001
return mid;
}
1.2 牛頓迭代法
將中值替換為切線方程的零根作為最終解，原理可以利用下**釋：
while(fabsf(val-last) > eps); //eps為精度，一般為0.000001
return
val;
}注意到**中初始值的選擇，解釋如下：
ieee浮點標準用的形式來表示乙個數，將該數存入float型別之後變為：
現在需要對這個浮點數進行開方，我們看看各部分都會大致發生什麼變化。指數e肯定會除以2,127保持不變，m需要進行開方。由於指數部分是浮點數的大頭，所以對指數的修改最容易使初始值接近精確值。幸運的是，對指數的開平方我們只需要除以2即可，也即右移一位。但是由於e+127可能是奇數，右移一位會修改指數，我們將先將指數的最低位清零，這就是& 0xff7fffff的目的。然後將該轉換後的整數右移一位，也即將指數除以2，同時尾數也除以2（其實只是尾數的小數部分除以2）。由於右移也會將127除以2，所以我們還需要補償乙個64，這就是最後還需要加乙個(64<<23)的原因。
這裡大家可能會有疑問，最後為什麼加(64<<23)而不是(63<<23)，還有能不能不將指數最後一位清零？答案是都可以，但是速度都沒有我上面寫的快。這說明我上面的估計更接近精確值。下面簡單分析一下原因。首先假設e為偶數，不妨設e=2n，開方之後e則應該變為n,127保持不變，我們看看上述**會變為啥。e+127是奇數，會清零，這等價於e+126，右移一位變為n+63，加上補償的64，指數為n+127，正是所需！再假設e為奇數，不妨設e=2n+1，開方之後e應該變為n+1（不精確），127保持不變，我們看看上述**會變為啥。e+127是偶數等於2n+128，右移一位變為n+64，加上補償的64，指數為n+1+127，也是所需！這確實說明上述的估計比其他方法更精確一些，因而速度也更快一些。
1.3 卡馬克演算法—快速平方根倒數演算法
此法實質上是進行了1~2次的牛頓迭代法求開方倒數，求平方根的倒數，實際就是求方程1/(x^2)-a=0的解。將該方程按牛頓迭代法的公式展開為：x[
n+1]
=1/2*x [ n ] *(3-a*x[n]*x[n])$。這個方法的乙個關鍵地方還在於起始值的選取，演算法選取乙個「magic number」，使演算法的初始解非常接近精確解！
float sqrtbycarmack( float number )
首先將數字每兩位分成一段。如：745836942。就分成：
7|45|83|69|42，即從個位開始分。共分成五段，第一段是7。
對第一段的數字7開方取整，可得a=2。此時，要在2後面接乙個數字b，並在7後面加上下一段的數45，使產生的兩位數ab的平方不大於745。
我們知道，數ab實際值表示為10a+b，其平方是
100a2+
20ab+
b2。我們可以暫時忽略b2
，而產生乙個「試商」b。即b=
(745
−100a2
)/20a
=(745−
100∗2∗
2)/(
20∗2)
=8.625≈8
(向下取整)。但是，我們發現282
=784
>
745 ，於是這個試商需要減少為7。然而，當a=0時，上述求試商的方法不在適用，但我們可以直接取下一段的兩位數開方。如√45≈6。求出試商後，用
745−ab
2 得到新的「第一段」的數。
具體過程：
取出第一段的數mn，開方得到a，然後接上第二段的數pq，用mn
pq−100a2
得到「餘數」x，x/
20a得到試商b，然後調整b（當20∗
a∗b+
b∗b>
x 時b需要減少），調整後，將x−
20a∗b
−b∗b
作為新的餘數x』，ab就是第二輪開平方的結果。由於前面已經將
100a
2 減掉，所以後面每次都不用再減去
100a
2 。重複步驟，直到開方完畢，或達到要求的精度為止。最後得到的a就是平方根。
如求745836942
的平方根： 7|
45|83|
69|42 ①a
=sqr
t(7)
≈2，b
=(745−
400)/40
≈8，28
2=784>
745==
>b=
7==>272
=729
<
745，
745−
729=
16 ②a
=27，b
=1683
/540≈3
，27∗20
∗3+3
∗3=1629
<
1683
，1683
−1629=54
③a=273，b=
5469
/5460≈1
，273∗20
∗1+1
∗1=5461
<
5469
==>b=
1，5469
−5461=8
當運用到二進位制時，數ab實際值表示為a<<1+b，其平方是a2
<<2+
ab<<2+
b2。我們可以暫時忽略b2
，而產生乙個「試商」b，依此類推下去。以下**為求乙個32位數的平方根，演算法將原始值兩兩分組進行計算，注意：根應至多為16位且每次計算的b值只能是0或1：
unsigned
int sqrt_16_1(unsigned
int m)
} return n;
}
也可把分類大小變成8,16…只要是2的倍數均可，演算法流程類似！
具體**如下：
unsigned
int sqrt_16_2(unsigned
int m)
m <<= 4;
for (j=3;j>0;j--)}}
return n;
}//32->16
計蒜客 X的平方根
設計函式int sqrt int x 計算 的平方根。輸入乙個整數 輸出它的平方根。直到碰到檔案結束符 eof 為止。對於每組輸入，輸出一行乙個整數，表示輸入整數的平方根。樣例輸入 123 4567 89樣例輸出 111 2222 23python 一 用try except try while t...
Python 計蒜客 X的平方根
設計函式int sqrt int x 計算 x 的平方根。輸入格式 輸入乙個 整數 xx，輸出它的平方根。直到碰到檔案結束符 eof 為止。輸出格式 對於每組輸入，輸出一行乙個整數，表示輸入整數的平方根。樣例輸入 1 2 3 4 5 6 7 8 9 樣例輸出 1 1 1 2 2 2 2 2 一 用t...
LintCode x的平方根
x的平方根 實現 int sqrt int n 函式，計算並返回 n 的平方根。樣例 sqrt 3 1 sqrt 4 2 sqrt 5 2 sqrt 10 3 挑戰 o log x solution 如果使用蠻力法來求解的話，肯定是會超時的。因此，我們需要使用牛頓迭代法來求解這問題 牛頓迭代法 對於...