資料結構樹

對於大量的輸入資料，鍊錶的線性訪問時間太慢，不宜使用。我們介紹一種簡單的資料結構，其大部分操作的執行時間平均為o(log n)。涉及到這種資料結構叫做二叉查詢樹，在電腦科學中樹（tree）是非常有用的抽象概念。

樹可以用幾種方式定義。一種定義樹的自然的方式是遞迴的方法。一棵樹是一些結點的集合。這個集合可以是空集；若非空，則一棵樹由稱作根（root）的節點r，以及0個或多個非空的子樹t1，t2，t3，...，tk組成，這些子樹中每一棵的根都被來自根r的一條有向邊（edge）所連線。

每一棵子樹的根叫做根r的兒子（child)，而r是每一棵子樹的根（root）的根的父親（parent）。一棵樹是n個節點和n-1條邊的集合，其中的乙個節點叫做根。每條邊都將某個節點連線到它的父親，而除去根節點外每乙個節點都有乙個父親。每乙個節點都可以有任意個兒子，也可能有零個兒子。沒有兒子的結點叫做樹葉（leaf）；具有相同父親的結點叫做兄弟（sibling）。用類似方法可以定義祖父（grandparent）和孫子（grandchild)關係。

從節點n1到nk的路徑（path)定義為結點n1,n2,n3,...,nk的乙個序列，使得對於1<=i<=k,節點n(i)是n(i+1)的父親。這條路徑的長（length)為該路徑上的邊的條數，即k-1。對任意節點n(i)的深度為從根到n(j)的惟一路徑的長。因此，根的深度為0。n(i)的高是從n(i)到一片樹葉的最長路徑的長，因此所有樹葉的高為0。一棵樹的高等於它的根的高，一棵樹的深度等於它的最深的樹葉的深度，該深度總是等於這棵樹的高。

實現樹的一種方法可是實在每乙個節點出資料外還要有一些指標，使得該節點的每乙個兒子都有乙個指標指向它。將每個節點的所有兒子都放在樹節點的鍊錶中。

typedef struct treenode *ptrtonode;
struct treenode
;

樹有許多應用。流行的用法之一是包含unix, vax/vms和dos在內的許多常用操縱系統的目錄結構。例如，unix目錄的根是/usr，/usr有三個兒子：mark、alex和bill，它們自己也是目錄。這種分級檔案系統非常流行，因為他能夠使得使用者邏輯地組織資料。在不同目錄下的兩個檔案還可以享有相同的名字，因為它們必然有從根開始的不同的路徑從而具有不同的路徑名。

我們想要列出目錄中所有檔案的名字，我們的輸出格式為：深度為d(i)的檔案的名字將被d(i)次跳格（tab）縮排後列印出來。

演算法如下：（列出分級檔案系統中目錄的例程）

static void listdir(directoryorfile d, int depth)
}void listdirectory(directoryoffile d)

演算法的核心為遞迴過程listdir，為了顯示根時不在進行縮排，該例程需要從目錄名和深度為0開始。這種遍歷的的策略叫做先序遍歷，在先序遍歷中，對節點的處理工作是在它的諸兒子的節點被處理之前（pre）進行的。還有一種遍歷樹的方法是後序遍歷。在後序遍歷中，在乙個節點處的工作實在它的諸兒子節點被計算後（post）進行的。

二叉樹的每個節點都不能有多於兩個的兒子。二叉樹的乙個性質是平均二叉樹的深度要比n小得多，這個平均深度為o(根號n)。而二叉查詢樹，其深度的平均值是o(log n).不幸的是，這個深度可以大到n - 1的。

因為一棵二叉樹最多有兩個兒子，所以我們可以用指標直接指向它們。樹節點的宣告在結構上類似於雙鏈表的宣告。乙個節點可以在呼叫free刪除後被釋放。

二叉樹的節點宣告：

typedef struct treenode *ptrtonode;
typedef struct ptrtonode tree;
struct treenode
;

表示式樹的樹葉是運算元，比如常數或變數，而其他的節點為操作符。由於這裡所有的操作都是二元的，因此這棵樹正好是二叉樹。我們可以通過遞迴產生乙個帶括號的左表示式，然後列印出在根處的運算子，最後再遞迴地產生乙個帶括號的右表示式而得到乙個（對兩個括號整體進行運算的）中綴表示式，這種一般的方法（左，節點，右）稱為中序遍歷。

另一種遍歷策略是遞迴列印出左子樹，右子樹，然後再列印運算子。比如： a b c * + d e * f + g * + ，這就是字尾表示式，這種遍歷叫做後序遍歷。

第三種遍歷策略是先列印出運算子，然後遞迴地列印出左子樹和右子樹，其結果為： + + a * b c * + * d e f g ，是不太常用的字首記法，這種便利策略為先序遍歷。

資料結構 樹

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