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最大連續子數列和一道很經典的演算法問題，給定乙個數列，其中可能有正數也可能有負數，我們的任務是找出其中連續的乙個子數列（不允許空數列），使它們的和盡可能大。我們一起用多種方式，逐步優化解決這個問題。
為了更清晰的理解問題，首先我們先看一組資料：
8
-2 6 -1 5 4 -7 2 3
第一行的8是說數列的長度是8，然後第二行有8個數字，即待計算的數列。
對於這個數列，我們的答案應該是14，所選的數列是從第2個數到第5個數，這4個數的和是所有子數列中最大的。
暴力求解也是容易理解的做法，簡單來說，我們只要用兩層迴圈列舉起點和終點，這樣就嘗試了所有的子數列，然後計算每個子數列的和，然後找到其中最大的即可，c語言**如下：
#include //n是陣列長度，num是待計算的陣列，放在全域性區是因為可以開很大的陣列
int n, num[1024];
int main()
if(s > ans) ans = s;}}
printf("%d\n", ans);
return 0;
}
如果你讀懂了剛才的程式，我們可以來看乙個簡單的優化。
如果我們有這樣乙個陣列sum，sum[i]表示第1個到第i個數的和。那麼我們如何快速計算第i個到第j個這個數列的和？對，只要用sum[j] - sum[i-1]就可以了！這樣的話，我們就可以省掉最內層的迴圈，讓我們的程式效率更高！c語言**如下：
#include //n是陣列長度，num是待計算的陣列，sum是陣列字首和，放在全域性區是因為可以開很大的陣列
int n, num[16384], sum[16384];
int main()
int ans = num[1]; //ans儲存最大子數列和，初始化為num[1]能保證最終結果正確
//i和j分別是列舉的子數列的起點和終點
for(int i = 1; i <= n; i++)
}printf("%d\n", ans);
return 0;
}
你應該聽說過分治法，正是：分而治之。我們有乙個很複雜的大問題，很難直接解決它，但是我們發現可以把問題劃分成子問題，如果子問題規模還是太大，並且它還可以繼續劃分，那就繼續劃分下去。直到這些子問題的規模已經很容易解決了，那麼就把所有的子問題都解決，最後把所有的子問題合併，我們就得到複雜大問題的答案了。可能說起來簡單，但是仍不知道怎麼做，接下來分析這個問題：
首先，我們可以把整個數列平均分成左右兩部分，答案則會在以下三種情況中：
1、所求數列完全包含在左半部分的數列中。
2、所求數列完全包含在右半部分的數列中。
3、所求數列剛好橫跨分割點，即左右數列各佔一部分。
前兩種情況和大問題一樣，只是規模小了些，如果三個子問題都能解決，那麼答案就是三個結果的最大值。我們主要研究一下第三種情況如何解決：
我們只要計算出：以分割點為起點向左的最大連續數列和、以分割點為起點向右的最大連續數列和，這兩個結果的和就是第三種情況的答案。因為已知起點，所以這兩個結果都能在o(n)的時間複雜度能算出來。
遞迴不斷減小問題的規模，直到數列長度為1的時候，那答案就是數列中那個數字。
綜上所述，c語言**如下，遞迴實現：
#include //n是陣列長度，num是待計算的陣列，放在全域性區是因為可以開很大的陣列
int n, num[16777216];
int solve(int left, int right)
sum = 0;
for(int i = mid + 1; i <= right; i++)
//答案是三種情況的最大值
int ans = lmax + rmax;
if(lans > ans) ans = lans;
if(rans > ans) ans = rans;
return ans;
}int main()
很多動態規劃演算法非常像數學中的遞推。我們如果能找到乙個合適的遞推公式，就能很容易的解決問題。
我們用dp[n]表示以第n個數結尾的最大連續子數列的和，於是存在以下遞推公式：
dp[n] = max(0, dp[n-1]) + num[n]
仔細思考後不難發現這個遞推公式是正確的，則整個問題的答案是max(dp[m]) | m∈[1, n]。c語言**如下：
#include //n是陣列長度，num是待計算的陣列，放在全域性區是因為可以開很大的陣列
int n, num[134217728];
int main()
printf("%d\n", ans);
return 0;
}
考慮我們之前o(n^2)的演算法，即乙個簡單的優化一節，我們還有沒有辦法優化這個演算法呢？答案是肯定的！
我們已知乙個sum陣列，sum[i]表示第1個數到第i個數的和，於是sum[j] - sum[i-1]表示第i個數到第j個數的和。
那麼，以第n個數為結尾的最大子數列和有什麼特點？假設這個子數列的起點是m，於是結果為sum[n] - sum[m-1]。並且，sum[m]必然是sum[1],sum[2]...sum[n-1]中的最小值！這樣，我們如果在維護計算sum陣列的時候，同時維護之前的最小值， 那麼答案也就出來了！為了節省記憶體，我們還是只用乙個num陣列。c語言**如下：
#include //n是陣列長度，num是待計算的陣列，放在全域性區是因為可以開很大的陣列
int n, num[134217728];
int main()
printf("%d\n", ans);
return 0;
}
很顯然，解決此問題的演算法的時間複雜度不可能低於o(n)，因為我們至少要算出整個數列的和，不過如果空間複雜度也達到了o(n)，就有點說不過去了，讓我們把num陣列也去掉吧！
#include int main()
printf("%d\n", ans);
return 0;
}
至此，最大連續子數列和的問題已經被我們完美解決！然而以上介紹的演算法都只是直接求出問題的結果，而不能求出具體是哪乙個子數列，其實搞定這個問題並不複雜，具體怎麼做留待讀者思考吧！
其他：
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模板 int maxsubsequence const int a,int n return maxsum 複雜度on 給定k個整數的序列，其任意連續子串行可表示為，其中 1 i j k。最大連續子串行是所有連續子串行中元素和最大的乙個，例如給定序列，其最大連續子串行為，最大和 為20。在今年的資料...
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maxsum最大子串行問題。其實是動態規劃問題，遞推式如下 s 1 a 1 s n s n 1 0?s n 1 a n a n 注意點 暴力是可以解決問題，但是時間肯定會超時。暴力就是把所有子串行都查一遍然後找乙個最大的。如序列為123456，它的所有子串行為 1 2 3 4 5 6 12 123 ...