最大子串行

一問題描述：

輸入一組整數，求出這組數字子串行和中最大值。也就是只要求出最大子串行的和，不必求出最大的那個序列。例如：

序列：-3 18 -4 5 -5 -2，則最大子串行和為23。

二解法1：窮舉解法

1
int maxsequence(int a,int
len)   
9if(newsum >maxsum)
10         maxsum =newsum;
11}   12}
13return
maxsum;
14 }

這個演算法本身是非常簡單和容易理解的，通過三個for迴圈直接給出所有可能出現的子串行，從中選出乙個最大值即可。但是該方法時間複雜度真的是太大了，達到了o(n3)，

有很多操作完成是重複性的操作。例如當i = 0時，j = 1 時：該演算法會計算a[0]+a[1],而當i = 0,j = 2時候,該演算法會計算a[0]+a[1]+a[2],顯然a[0]+a[1]被重複計算了。

三解法2：窮舉解法2

1
int maxsequence2(int a,int
len)   10}
11return
maxsum;
12 }

這個演算法本身其實也是非常容易理解的，它不過是上面那個解法的改進，當我們計算i..j的值時候，i--j-1已經被計算過了，可以直接利用，不用重新計算一次i..j-1。其時間複雜度為o(n2),當然了，很明顯的，這個時間複雜度也還是非常高的，在計算機裡面，乙個演算法複雜度達到o(n2)其實還是一件比較可怕的事情。

四解法3：分治法

int max3(int i, int j, int
k)int max_seq(int a,int left,int
right)
int rmax = a[mid+1
];  
int rsum = 0
;for(int i = mid+1;i<=right;i++)
return max3(lmax+rmax,max_seq(a,left,mid),max_seq(a,mid+1
,right));
}int maxsequence3(int a,int
len)

這個演算法的核心就是分治思想。我們假設將我的已經知道的序列分成左右兩部分，那麼最大子串行存在的位置顯然有三種可能：

(1) 存在在序列的左部

(2) 存在在序列的右部

(3) 既存在在序列的左部又存在在序列的右部。

顯然如果是情況（3），是比較容易算出來的。如果是情況（1）和（2）的話，我們可以將左部和右部當中乙個重新的序列計算，那麼新的序列又可以分成左右部分，重複以上即可。該演算法的時間複雜度了o(n * lg(n))。

五解法四：動態規劃

int maxsequence4(int a,int
len)
return
maxsum;
}

該演算法的時間複雜度顯然就是o(n)，對於計算機來說當然是非常友好的一件事情了，當是對於人來說就不是那麼友好了（當然了，神人除外）。

我們可以想一下，最大的子串行有什麼特點呢？那就是其前m個元素之和也一定不能小於0，為什麼？我們假設

序列a的長度為len,假設a[i].....a[j]，表示為a的最大子串行。如果sum[i->i+m]< 0,那麼sum[i+m+1->j] > sum[i->j]，矛盾。

**體現：

if(maxnew <= 0)
maxnew = a[i];

最大子串行

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最大子串行

最大子串行

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