舉例2 - copy paste參考
動態規劃，就實際的作用而言，把多階段過程轉化為一系列單階段問題，利用各階段之間的關係，逐個求解。需要注意：【核心觀點】動態規劃 = 階段劃分 + 階段之間的關係。
本文主要通過一種嘗試試探的方法，去探索動態規劃階段劃分的角度。
（1）【階段劃分的角度】，決定了你理解事物的難易程度，以及後面階段間關係的複雜度。（後面我們會通過乙個例子( 探索法展示 )進行分析）（2）【階段劃分角度的多樣性】我們觀察乙個事物的時候，不只有乙個角度去觀察，而是有很多角度，不同的角度造成了不同的解決問題的方式。我們需要承認，求解問題時，是可以有多種階段劃分的辦法的。（後面將展示一些階段劃分的探索以及小技巧）
（3）【重新選角度劃分階段】當你選擇了某種階段劃分的角度，出現如下問題時，你可能需要換乙個角度來重新劃分階段：1.劃分的角度難以理解，難以繼續往下思考，情況數**增長；2.劃分之後，各階段的角度混雜，沒有區域性關聯性（只和相鄰的幾個階段相關聯）。
主要通過乙個列子來說明這其中包含的思想。
輸入乙個整形陣列，陣列裡有正數也有負數。（設陣列中元素數目為 n）理論上可用動態規劃的特徵：陣列中連續的乙個或多個整數組成乙個子陣列，每個子陣列都有乙個和。
求所有子陣列的和的最大值。要求時間複雜度為o(n)。
例如輸入的陣列為1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5，和最大的子陣列為3, 10, -4, 7, 2，
因此輸出為該子陣列的和18。
【最優子結構】能劃分階段而且大問題的最優解可以由小問題推出來。一般是憑經驗，下面列舉情況：【無後效性】某階段的狀態一旦確定，則此後過程的演變不再受此前各種狀態及決策的影響。
簡單的說，就是當前的狀態是此前歷史的乙個完整總結，此前的歷史只能通過當前的狀態去影響過程未來的演變，「未來與過去無關」。
具體地說，如果乙個問題被劃分各個階段之後，階段 i 中的狀態只能由階段 i-1 中（或多個有限歷史階段）的狀態通過狀態轉移方程得來，與其它狀態沒有關係，特別是與未發生的狀態沒有關係。
ps:遞推本身是無後效性的反映。（如：f(
i)=g
(f(i
−1))
,滿足無後效性，及最優子結構）
【階段】動態規劃的題都是可以分出階段的。【環狀：不適用（有後效性）】乙個問題有環狀結構一般就不能用dp。比如求圖的最短路。如果是鏈狀結構就可以用dp，例如有向無環圖的最短路。（其實把dp的狀態關係畫出來就是乙個dag）
時刻牢記 我們尋找的遞推，應該具有的特徵：劃分階段的角度：最優子結構 + 無後效性
【定義階段】將前 k 個元素 處理的找到的最大值，當作乙個階段，用 f (k) 。【尋找階段間的關係】當我們定義了階段之後，接下來便是尋找階段間的關係。基於兩點來判斷：1.是否是最優子結構；2.是否具有無後效性。
【最優】根據我們對於階段的定義，我們能夠確定：f ( n ) 的結果就是想要的結果。
【無後效性：排除】按照我們的階段劃分，發現不具有無後效性的特點。 f(k) 不僅依賴於 f(k-1)，因為 可能 f( k -1 ) = f ( k - 2) = … （因為可能在前k個元素中，前2個元素構成了最大的值）,且這種依賴是不確定的，你不知道依賴前面幾個。 —>所以這種做法是不合適的。
前面一種試探的方法失敗了，我們只得重新尋找劃分階段的角度。在這次求解之前，提出如下幾個問題：借鑑上一次失敗的教訓，沒有滿足無後效性。我們這次需要尋找一種，具有無後效性的方式。
（1）【一定要得到直接的結果？ no】我們假設找到了乙個函式 f 能夠很好的劃分階段，那麼 f(n)是否直接就是需要的答案呢？即f ( n ) 就對應著最終所求最大值。對於上面的問題，是否定的。那麼做太死板，把問題的空間限定的很死。而且，一些間接的答案也是可以匯出最終的答案的。（如：接下來要提的這種角度）
（2）【如何保證無後效性的存在？】連續子陣列意味著，如果某個子陣列中末位為 k ，而 k -1 不在陣列中，那麼 k -1 之前的元素 也一定不在陣列中。元素 k-1的存在與否很好的告知了 元素 k 過去的歷史。
（1）間接逼近目標（將問題歸結為更容易操作的其他問題），下面是一些例項：劃分角度：leetcode - 303. range sum query - immutable 【動態規劃 + 間接逼近目標 + 區間計算 +刻度 + 距離計算方式 】
【新劃分】我們規定以 第 k個元素結尾的子陣列和最大為 f (k).核心**：【劃分匯出的關係】
（1）f(k-1) < 0 , 對 f (k)貢獻為負，捨棄，於是f(k) = data[k],其中data[k]表示陣列中第k個元素。
（2）f(k-1) > 0,對 f( k )貢獻為正，納入，於是f(k) = f (k-1) + data[k]。 因為 f (k-1) 保證了第k-1個元素一定在子陣列中，所以加入data[k]之後，依舊是連續的，符合題目要求。
【（間接）得到答案】從 f(i)中選擇最大值。（1 <= i <= n）
result = a[1]
sum = a[1]
for i: 2
to length[a]
ifsum > 0
sum += a[i]
else
sum = a[i]
ifsum > result
result = sum
return
result
【劃分角度 ： 依賴性】考慮現在與過去的階段相關性，各階段間部分相關還是全部相關，有沒有一種劃分方法，能夠將相關性變為部分相關，從而降低計算代價。原題目**【某個階段的狀態數量】在動態規劃的過程中，某個階段的狀態是乙個還是多個？
多個的情況，需要設定多維陣列來進行儲存。（比如，該題目中網友的做法d[i][j][k]）。但這無疑也增加了空間複雜度。
1個的情況，只需要設定1維陣列即可（比如，下面題目我的設計，d[i]）,此處通過乙個函式將題目的需求以及 網友的那種做法進行了壓縮儲存，能夠服務於求解的目的，同時又具有較好的空間複雜度。
大概意思是你有3中操作可以做：
在鍵盤上敲乙個字元
複製一段現有字串
貼上剪下板上的字元到最後
請問，最少需要多少次操作才能生成一給定的字串，字串長度是100。
d[i]: 表示得到前 i 個字元，需要的最少時間。d[i+1]: 選最小，包括：d[i]+1，d[j] +1(長度為i+1-j的字串存在 && 與第j+1到i+1的字元匹配)，其中j < i。
求連續子陣列的最大和
如何判斷乙個問題是否可用動態規劃演算法求解？
動態規劃總結
華電北風吹 天津大學認知計算與應用重點實驗室 日期 2015 12 7 近期學了幾個動態規劃正好總結一下。裡面不涉及具體問題的具體解法，有問題可以參看我的具體型別的講解部落格。目前所見動態規劃可以劃分為兩類 鏈式和樹形。而且這兩類中的每個節點都是乙個完整的狀態集合。一 鏈式動態規劃 鏈式動態規劃的題...
動態規劃 總結
動態規劃是解決多階段決策問題的一種方法。如果一類問題的求解過程可以分為若干個互相聯絡的階段，在每乙個階段都需作出決策，並影響到下乙個階段的決策，從而確定了乙個過程的活動路線，則稱它為多階段決策問題。思想 在做每一步決策時，列出各種可能的區域性，解依據某種判定條件，捨棄那些肯定不能得到最優解的區域性解...
動態規劃總結
一 知識點整理 一 動態規劃是解決多階段策略問題的一種方法，運用最優性原理，排除重複計算，用空間換時間的演算法。二 動態規劃適用的題目型別有以下幾個特點 1.問題具有多階段的決策 2.每個階段對應乙個狀態 狀態變數 3.每個階段有乙個決策 不同的決策導致下乙個階段不同的狀態 4.每個階段的最優解可以...